信号与系统基础

概念

前面十几门课都在讲"怎么用机器算"，这一门换个角度问：信息在物理世界里长什么样、怎么被搬运。

两句话定义这一门课的两个主角：

信号：随时间（或空间）变化的物理量，它携带信息。 系统：把输入信号变成输出信号的"黑盒"。

电压随时间变化是信号，图像随空间变化也是信号；滤波器、放大器、信道、乃至一段代码写的数字滤波器，都是"系统"。

这一整门课（以及后面的傅里叶、拉普拉斯、Z 变换）真正研究的对象，只有一类系统：

线性 + 时不变（LTI）——只有它才能用"卷积"完整描述，也才有后面的那些变换。

所以这一章的任务是：把"卷积"这件事讲透，后面三章的变换全都是它的另一种说法。

原理

一、信号怎么分类

分类维度	两类	例子
自变量连续性	连续时间 / 离散时间	麦克风电压 / 每毫秒采一次的温度
是否重复	周期 / 非周期	正弦 / 单个脉冲
能量的性质	能量信号（总能量有限、平均功率为 0）	单个脉冲
	功率信号（平均功率有限、总能量无限）	持续的正弦、方波
是否可预测	确定 / 随机	正弦 / 噪声

注意"能量"与"功率"是一对互补的概念：周期信号永远不可能能量有限（一直有值），所以它归到功率信号；单个有限时长的脉冲总能量有限，归到能量信号。两个都不是的也有（如 t·u(t) 这类增长的信号）。

二、两个基本信号：不要小看它们

信号	定义	用处
单位阶跃 u(t)	t < 0 为 0，t > 0 为 1	表示"从某一刻开始"，用来写"开关"
单位冲激 δ(t)	面积为 1、宽度趋 0 的理想脉冲	表示"某一点上的取值"，是卷积的钥匙

δ(t) 的用法要分清：

• 筛选：∫ x(τ)·δ(τ − t₀) dτ = x(t₀)——把某个时刻的值"挑"出来。
• 表示任意信号：x(t) = ∫ x(τ)·δ(t − τ) dτ——任何信号都能写成"一串加权延迟的冲激之和"。

第二条就是卷积的源头。

三、系统四性质：判据要背准

性质	判据	反例
线性	同时满足齐次与叠加：T{a·x₁ + b·x₂} = a·T{x₁} + b·T{x₂}	y[n] = x²[n]
时不变	输入延迟多少，输出就延迟多少	y[n] = n·x[n]
因果	输出只依赖当前与过去（现实中系统必须因果）	y[n] = x[n+1]
稳定（BIBO）	有界输入 ⇒ 有界输出	y[n] = n·x[n]

"线性"最常见的误判是只看"有没有乘常数"——乘常数只是齐次性，还得验证叠加。判断时不变要看"系数是否随 n 变"：y[n] = n·x[n] 看起来线性，但系数随 n 变 → 时变。

LTI 的稳定性有一条简洁判据：Σ|h[n]| < ∞（离散）或 ∫|h(t)|dt < ∞（连续）——冲激响应绝对可和/可积 ⇔ 稳定。

四、卷积：把输入和"系统性格"揉在一起

连续卷积：

y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

离散卷积：

y[n] = x[n] * h[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]

"翻褶—平移—相乘—求和"四步（这是手算的标准流程，考试也这么要求）：

步骤	连续	离散
1 翻褶	把 h(τ) 变成 h(−τ)	把 h[k] 变成 h[−k]
2 平移	移 t：h(t − τ)	移 n：h[n − k]
3 相乘	x(τ)·h(t − τ)	x[k]·h[n − k]
4 求和	对 τ 积分	对 k 求和

长度公式（离散必考）：

长度 N 与长度 M 的两个序列卷积，结果长度 = N + M − 1

连续情形对应的是"宽度相加"：宽 1 的矩形卷积宽 1 的矩形，得到宽 2 的三角形。

五、为什么 h(t) 就能描述整个系统

这是 LTI 的核心，推导只有三步：

1. 任何输入都能写成冲激之和：x(t) = ∫ x(τ)δ(t − τ)dτ
2. 系统对冲激的响应叫 h(t)：δ(t) → h(t)
3. 时不变 + 线性：延迟 τ 的冲激响应是 h(t − τ)，权重是 x(τ)，叠加起来就是 ∫x(τ)h(t−τ)dτ

所以 "系统"和"它的冲激响应 h(t)"是等价的信息——知道 h 就等于知道了系统对一切输入的答案。这就是为什么整个课程都在研究 h(t)，也是为什么变换全都作用在 h(t) 上。

六、卷积与相关：长得像，用途完全不同

	卷积	相关
公式	∫x(τ)h(t−τ)dτ（翻褶）	∫x(τ)y(t+τ)dτ（不翻褶）
回答什么	系统对输入做了什么	两个信号有多像
用途	滤波、系统响应	检测、匹配滤波、模板匹配

区别只在"翻不翻褶"，但语义完全不同：卷积是"系统的作用"，相关是"相似度比较"。图像处理里的模板匹配用的是相关（数字图像处理）。

七、往前一步：采样

现实世界的信号是连续的，计算机里必须离散——采样就是"每隔 T 秒取一个值"。

这里埋着整个数字信号处理最关键的一个坑：采样频率不够时，高频信号会伪装成低频混进来（混叠）。采样定理说：要不失真，采样率必须大于信号最高频率的 2 倍——44.1 kHz 这个数字正是从"人耳上限约 20 kHz"倒推出来的（见 采样定理 与 数字音频）。

示例

例 1：离散卷积的四步展开（C）

按定义 y[n] = Σ x[k]·h[n−k] 把每一步的贡献列出来。

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int x[3] = {1, 2, 3};
    int h[2] = {1, 1};
    int nx = 3, nh = 2;
    int len = nx + nh - 1;          /* 长度公式：N + M - 1 */
    int y[4];
    char buf[64];

    printf("x = [1, 2, 3], h = [1, 1] -> len = 3 + 2 - 1 = %d\n", len);
    printf("%-3s %-5s %s\n", "n", "y[n]", "terms");

    for (int n = 0; n < len; n++) {
        int s = 0, p = 0, first = 1;
        buf[0] = '\0';
        for (int k = 0; k < nx; k++) {
            int j = n - k;                      /* h 的下标：翻褶 + 平移 */
            if (j < 0 || j >= nh) continue;     /* 越界不贡献 */
            s += x[k] * h[j];
            p += snprintf(buf + p, sizeof(buf) - (unsigned long)p,
                          "%s%d*%d", first ? "" : " + ", x[k], h[j]);
            first = 0;
        }
        y[n] = s;
        printf("%-3d %-5d %s\n", n, s, buf);
    }

    printf("check: y = [%d, %d, %d, %d]\n", y[0], y[1], y[2], y[3]);
    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

x = [1, 2, 3], h = [1, 1] -> len = 3 + 2 - 1 = 4
n   y[n]  terms
0   1     1*1
1   3     1*1 + 2*1
2   5     2*1 + 3*1
3   3     3*1
check: y = [1, 3, 5, 3]

读数：h = [1, 1] 表示"把当前点和前一点加起来"，所以 y = [1, 3, 5, 3] 就是"相邻求和"。长度 4 而不是 3——因为卷积结果的尾巴上还有一个只由最后一个输入产生的点，这正是 N + M − 1 的来源。

例 2：离散、连续、三角、筛选四件事一起验（Python）

C 段只展开了离散卷积。这里补上四件：多个离散例子的长度核对、连续卷积的解析解与数值积分对照、矩形卷积成三角、以及冲激的筛选性质与系统性质判定。

import math


def pad(s, w):
    dw = sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(s))
    return str(s) + " " * max(0, w - dw)


def table(head, rows, gap=2):
    data = [[str(c) for c in r] for r in rows]
    w = [max([sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(head[i]))]
             + [sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in r[i]) for r in data]) + gap
         for i in range(len(head))]
    print("  " + "".join(pad(head[i], w[i]) for i in range(len(head))))
    for r in data:
        print("  " + "".join(pad(r[i], w[i]) for i in range(len(head))))


def conv(x, h):
    """按定义 y[n] = Σ_k x[k]·h[n-k] 实现，不调用任何库"""
    y = [0.0] * (len(x) + len(h) - 1)
    for n in range(len(y)):
        s = 0.0
        for k in range(len(x)):
            if 0 <= n - k < len(h):
                s += x[k] * h[n - k]
        y[n] = s
    return y


print("=== 1. 离散卷积：长度一定等于 N + M - 1 ===")
cases = [([1, 2, 3], [1, 1]), ([1, 1, 1], [1, 1, 1]), ([1, 0, -1], [1, 2, 1])]
rows = []
for x, h in cases:
    y = conv(x, h)
    rows.append(["x = %s" % x, "h = %s" % h, "%s" % [int(v) for v in y],
                 "N+M-1 = %d+%d-1 = %d" % (len(x), len(h), len(x) + len(h) - 1)])
table(["输入 x", "冲激响应 h", "卷积 y = x * h", "长度核对"], rows)
print("  [1,2,3] * [1,1] = [1,3,5,3]：每一点的 y[n] = x[n] + x[n-1]，正是'a[n] 加前一点'。")
print("  [1,1,1] * [1,1,1] 得 [1,2,3,2,1] —— 两个矩形卷成三角形，这是后面连续卷积的离散版。")
print()

print("=== 2. 连续卷积：解析解与数值积分对照 ===")
print("  x(t) = e^(-t)u(t)，h(t) = e^(-2t)u(t)")
print("  解析：y(t) = ∫_0^t e^(-τ)·e^(-2(t-τ)) dτ = (e^(-t) - e^(-2t))u(t)")


def numconv(t, dt=1e-5):
    n = int(t / dt)
    s = 0.0
    for i in range(n + 1):
        tau = i * dt
        s += math.exp(-tau) * math.exp(-2 * (t - tau))
    return s * dt


rows = []
for t in (0.5, 1.0, 2.0, 3.0):
    ana = math.exp(-t) - math.exp(-2 * t)
    num = numconv(t)
    rows.append(["%.1f" % t, "%.8f" % ana, "%.8f" % num, "%.2e" % abs(ana - num)])
table(["t", "解析解 y(t)", "数值积分", "绝对误差"], rows)
print("  两条路径算出同一组数（∫ 与 Σ 走的是不同路径，不是同一行代码抄两遍）。")
rows = []
for t in (0.0, 0.693147, 1.0):
    rows.append(["%.6f" % t, "%.6f" % (math.exp(-t) - math.exp(-2 * t))])
table(["t（含 ln2）", "y(t)"], rows)
print("  峰值落在 t=ln2≈0.6931 处，值 0.2500 —— 求导令 e^(-t) - 2e^(-2t) = 0 即可解出。")
print()

print("=== 3. 矩形卷积矩形 = 三角形：宽度与峰值都能算出来 ===")
print("  两个宽 1 的单位矩形：完全重叠时积分最大 = 1×1 = 1（出现在 t=1）")


def rect(t):
    return 1.0 if 0.0 <= t <= 1.0 else 0.0


DT, N = 1e-4, 20000
rows = []
for t in (0.0, 0.25, 0.5, 1.0, 1.5, 1.75, 2.0):
    y = sum(rect((i + 0.5) * DT) * rect(t - (i + 0.5) * DT) for i in range(N)) * DT  # 中点法
    rows.append(["%.2f" % t, "%.4f" % y, "%.4f" % max(0.0, min(t, 2 - t))])
table(["t", "数值卷积", "理论三角 min(t, 2-t)"], rows)
print("  数值列与理论列逐行吻合：卷积把'宽度 1 的矩形'变成了'宽度 2 的三角形'。")
print("  结论：卷积后的长度 = 两个信号长度之和（1 + 1 = 2），与离散的 N + M - 1 完全对应。")
print()

print("=== 4. 冲激响应为什么能描述一切：筛选性质 ===")
x = [3, 1, 4, 1, 5]
delta = [0, 0, 1]          # δ[n-2]
rows = [["x[n]", "%s" % x],
        ["δ[n-2]", "%s" % delta],
        ["x[n] * δ[n-2]", "%s" % [int(v) for v in conv(x, delta)]],
        ["x[n-2]（右移 2 位）", "%s" % ([0, 0] + x)]]
table(["信号", "值"], rows)
print("  与 δ 卷积 = 把原信号搬过去：这就是'任何输入都能拆成加权延迟的 δ 之和'的直接后果，")
print("  也是 LTI 系统只看 h(t) 就够了的根据。")
print()

print("=== 5. 系统四性质判定：看四个例子 ===")
rows = [
    ["y[n] = x[n] + x[n-1]", "是", "是", "是", "是", "差分（滑动平均）"],
    ["y[n] = x[n]²", "否", "是", "是", "是", "平方非线性"],
    ["y[n] = x[n+1]", "是", "是", "否", "是", "要未来值 → 非因果"],
    ["y[n] = n·x[n]", "是", "否", "是", "否", "系数随 n 变 → 时变、无界"],
]
table(["系统", "线性", "时不变", "因果", "稳定", "为什么"], rows)
print("  判'线性'就对两个输入验证叠加性：T{a·x1 + b·x2} 是否等于 a·T{x1} + b·T{x2}。")
print("  判'稳定'看有界输入能否给出有界输出：y[n] = n·x[n] 在 |x|≤1 时输出却无界，故不稳定。")
print("  只有'线性 + 时不变'（LTI）才能用卷积描述 —— 这是本课后面所有变换的前提。")

python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

=== 1. 离散卷积：长度一定等于 N + M - 1 ===
  输入 x          冲激响应 h     卷积 y = x * h     长度核对
  x = [1, 2, 3]   h = [1, 1]     [1, 3, 5, 3]       N+M-1 = 3+2-1 = 4
  x = [1, 1, 1]   h = [1, 1, 1]  [1, 2, 3, 2, 1]    N+M-1 = 3+3-1 = 5
  x = [1, 0, -1]  h = [1, 2, 1]  [1, 2, 0, -2, -1]  N+M-1 = 3+3-1 = 5
  [1,2,3] * [1,1] = [1,3,5,3]：每一点的 y[n] = x[n] + x[n-1]，正是'a[n] 加前一点'。
  [1,1,1] * [1,1,1] 得 [1,2,3,2,1] —— 两个矩形卷成三角形，这是后面连续卷积的离散版。

=== 2. 连续卷积：解析解与数值积分对照 ===
  x(t) = e^(-t)u(t)，h(t) = e^(-2t)u(t)
  解析：y(t) = ∫_0^t e^(-τ)·e^(-2(t-τ)) dτ = (e^(-t) - e^(-2t))u(t)
  t    解析解 y(t)  数值积分    绝对误差
  0.5  0.23865122   0.23865003  1.19e-06
  1.0  0.23254416   0.23254300  1.16e-06
  2.0  0.11701964   0.11701906  5.85e-07
  3.0  0.04730832   0.04730858  2.61e-07
  两条路径算出同一组数（∫ 与 Σ 走的是不同路径，不是同一行代码抄两遍）。
  t（含 ln2）  y(t)
  0.000000     0.000000
  0.693147     0.250000
  1.000000     0.232544
  峰值落在 t=ln2≈0.6931 处，值 0.2500 —— 求导令 e^(-t) - 2e^(-2t) = 0 即可解出。

=== 3. 矩形卷积矩形 = 三角形：宽度与峰值都能算出来 ===
  两个宽 1 的单位矩形：完全重叠时积分最大 = 1×1 = 1（出现在 t=1）
  t     数值卷积  理论三角 min(t, 2-t)
  0.00  0.0000    0.0000
  0.25  0.2500    0.2500
  0.50  0.5000    0.5000
  1.00  1.0000    1.0000
  1.50  0.5000    0.5000
  1.75  0.2500    0.2500
  2.00  0.0000    0.0000
  数值列与理论列逐行吻合：卷积把'宽度 1 的矩形'变成了'宽度 2 的三角形'。
  结论：卷积后的长度 = 两个信号长度之和（1 + 1 = 2），与离散的 N + M - 1 完全对应。

=== 4. 冲激响应为什么能描述一切：筛选性质 ===
  信号                 值
  x[n]                 [3, 1, 4, 1, 5]
  δ[n-2]               [0, 0, 1]
  x[n] * δ[n-2]        [0, 0, 3, 1, 4, 1, 5]
  x[n-2]（右移 2 位）  [0, 0, 3, 1, 4, 1, 5]
  与 δ 卷积 = 把原信号搬过去：这就是'任何输入都能拆成加权延迟的 δ 之和'的直接后果，
  也是 LTI 系统只看 h(t) 就够了的根据。

=== 5. 系统四性质判定：看四个例子 ===
  系统                  线性  时不变  因果  稳定  为什么
  y[n] = x[n] + x[n-1]  是    是      是    是    差分（滑动平均）
  y[n] = x[n]²          否    是      是    是    平方非线性
  y[n] = x[n+1]         是    是      否    是    要未来值 → 非因果
  y[n] = n·x[n]         是    否      是    否    系数随 n 变 → 时变、无界
  判'线性'就对两个输入验证叠加性：T{a·x1 + b·x2} 是否等于 a·T{x1} + b·T{x2}。
  判'稳定'看有界输入能否给出有界输出：y[n] = n·x[n] 在 |x|≤1 时输出却无界，故不稳定。
  只有'线性 + 时不变'（LTI）才能用卷积描述 —— 这是本课后面所有变换的前提。

四条结论：

1. 长度公式是硬约束：三组例子全部满足 N + M − 1。它来自"翻褶后头尾各有一段只被一个点覆盖"，不是巧合。
2. 解析解与数值积分吻合到 1e-6 量级：y(t) = e^{-t} − e^{-2t}，峰值在 t = ln2 ≈ 0.6931 处、值 0.25。两条不同路径给出同一组数，这才叫验算。
3. 矩形卷矩形得三角形：数值列与理论三角 min(t, 2−t) 逐行吻合，峰值 1 出现在完全重叠处。"卷积把宽度加起来"这件事在连续世界里同样成立。
4. 与 δ 卷积 = 平移：x[n] * δ[n−2] = x[n−2]，右移 2 位。这是"用冲激响应描述系统"的机制来源。

考点

考点

1. 基本定义要能默写

• 连续卷积：y(t) = ∫x(τ)h(t−τ)dτ；离散卷积：y[n] = Σ_k x[k]h[n−k]。
• 四步法：翻褶 → 平移 → 相乘 → 求和（积分）。
• 长度公式：N + M − 1（考研最常考的一格）。

2. 冲激函数的两个动作

动作	式子	含义
筛选（采样）	∫x(τ)δ(τ−t₀)dτ = x(t₀)	取出某时刻的值
展开	x(t) = ∫x(τ)δ(t−τ)dτ	任何信号 = 加权延迟冲激之和

δ 是"函数"还是"广义函数"，考纲里不深究；要会用它的面积与筛选性质。

3. 系统四性质判据

• 线性 = 齐次 + 叠加，两者缺一不可。
• 时不变看系数是否随自变量变：y[n]=n·x[n] 线性但时变。
• 因果：输出不依赖未来。
• 稳定（BIBO）：Σ|h[n]| < ∞ 或 ∫|h(t)|dt < ∞。

4. LTI 与卷积的关系（推导题常考）

x(t) = ∫x(τ)δ(t−τ)dτ → 时不变把 δ(t−τ) 变成 h(t−τ) → 线性把系数 x(τ) 提出来 → y = x * h。 结论：LTI 系统由 h(t) 唯一确定。

5. 卷积 vs 相关

• 卷积翻褶，相关不翻褶。
• 卷积 = 系统作用（滤波），相关 = 相似度（检测、模板匹配）。
• 记忆：x(t)*δ(t−t₀) = x(t−t₀)（平移）；x(t)⋆x(t)（自相关）在 0 处取最大值。

6. 易错点清单

• 卷积不满足"交换前后不换结果"的直觉错误：卷积确实满足交换律 x*h = h*x（这点与"翻褶"给人的印象相反），但不能因此把参量的物理含义对调。
• 把卷积的"相乘求和"写成"对应点相乘再求和"（点积）：点积对应的是相关，不是卷积。
• 计算卷积时忘记限制积分区间：x(t)h(t−τ) 只有两者重叠时才有贡献，区间必须分段讨论。
• 把"能量信号"与"功率信号"混为一谈：周期信号是功率信号，单脉冲是能量信号。
• 判断稳定性只看极点是否在左半平面：那个判据属于拉普拉斯域，时域判据是"冲激响应绝对可和/可积"。
• 认为"离散卷积的结果和输入等长"：结果长 N + M − 1。

小结

• 信号是随时间变化的物理量，系统是它的变换器；本课只研究 LTI——因为只有它能用卷积完整描述。
• δ(t) 是打开一切的那把钥匙：它既能筛选（取出某时刻的值），又能展开（任何信号写成加权延迟冲激之和）。
• 卷积的四步是"翻褶—平移—相乘—求和"，长度公式 N + M − 1（连续对应"宽度相加"）。
• y = x * h 的推导只有三步（展开 → 时不变 → 线性叠加），结论是"h(t) 就是系统的全部信息"。
• 卷积 ≠ 相关：只差"翻不翻褶"，但一个是"系统作用"、一个是"相似度"。

回到主线：这是一条分支课，不在"由硅到 C"的链上（课程总览见站点首页）。它与主线有两处真实交汇：计网的物理层（信号怎么承载比特，见 物理层）和图像与音频处理（见 数字图像处理 与 数字音频）。它自己的前置数学是 复变函数与积分变换。

这一章只答了一个问题："系统对输入做了什么"。下一章换一个视角问同一个问题——不问"系统做了什么"，而问"这个信号由哪些频率组成"。

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