滤波器设计基础

概念

上一章把 H(z) 变成了"循环里的一行"。但工程上从来不是先写代码、再看它滤掉什么，而是反过来：先给定指标（哪些频率要保住、哪些频率要压掉、压到多少 dB），再求出系数。 这个反求过程就是滤波器设计。

滤波器就四类，别的都是它们的组合：

类型	放行	阻挡
低通（LP）	直流到 ωp	ωs 以上
高通（HP）	ωp 以上	直流到 ωs
带通（BP）	ω1 到 ω2	两侧
带阻（BS）	两侧	ω1 到 ω2

设计这件事有三条路，本章把三条都走一遍：

①  指标 ──(选原型、算阶数)──▶ 模拟 H(s) ──(双线性变换)──▶ 数字 H(z)      ← IIR 路线
②  指标 ──(理想低通 + 加窗)──────────────────────────▶ 数字 h[n]      ← FIR 路线
③  数字指标 ──(频率变换)──▶ 低通原型 ──▶ 任意类型                        ← 复用路线

关键认识：三条路的共同点是"先把问题变成设计一个归一化低通原型，再变换到目标类型"。所以本章的逻辑是——一个原型（巴特沃斯）+ 一套变换 + 两种数字化方法。

原理

一、指标语言：把"要什么"写成五个数

符号	含义	典型说法
ωp（或 fp）	通带边缘	最后一次允许幅度波动的地方
ωs（或 fs_stop）	阻带起始	从这里开始必须压下去
αp	通带最大衰减	"通带波纹不超过 1 dB"
αs	阻带最小衰减	"阻带至少衰减 40 dB"
Δω = ωs − ωp	过渡带宽度	两个要求之间的"缓冲地带"

过渡带是全部难度的来源：Δω 越窄，需要的阶数越高、算力越大。滤波器的"贵"就贵在这条窄带上。

二、巴特沃斯：最平坦的幅度

巴特沃斯（Butterworth）低通的幅度平方函数只有一句话：

|H(jΩ)|² = 1 / (1 + (Ω/Ωc)^(2n))

它的性格由这三个性质决定：

• 直流处最平坦：前 2n−1 阶导数在 Ω = 0 处全为零；
• 单调下降，通带没有波纹（切比雪夫 I 有，换来更窄的过渡带）；
• Ω = Ωc 处恒为 −3 dB，与阶数无关。

阶数反解公式（把 αp、αs 代进去）：

n ≥ log10[ (10^(αs/10) − 1) / (10^(αp/10) − 1) ] / ( 2·log10(ωs/ωp) )

取整后必须回代校核——因为 n 只能取整数，实际衰减一定比要求好一点：

阻带要求（αp = 1 dB @ ωp = 1、ωs = 2）	阶数计算值	取整 n	校核用 Ωc	ωs 处实际衰减
20 dB	4.2894	5	1.14468	24.25 dB
40 dB	7.6185	8	1.08812	42.30 dB
60 dB	10.9405	11	1.06334	60.36 dB

极点的位置也有规律：n 个极点均匀分布在一个半径为 Ωc 的左半圆上，角度为 π(2k+n+1)/(2n)。n = 8 时就是 8 个等角度的点，k = 0 那对极角 101.25°、k = 7 那对 258.75°。

这条规律的工程含义：把共轭极点两两配对，每一对做成一个二阶节（biquad），8 阶就是 4 个 biquad 级联。阶数越高，极点越靠近虚轴（Q 越大），对系数量化越敏感——所以实际实现一律级联多个二阶节，而不是直接算 8 阶差分方程。

原型	通带	过渡带	特点
巴特沃斯	最平坦、单调	最宽	相位特性最好，阶数代价最大
切比雪夫 I	等波纹	较窄	同阶数比巴特沃斯陡，通带有波纹
切比雪夫 II	平坦	较窄	波纹放到阻带
椭圆	等波纹	最窄	阻带还有零点，相位最差

三、频率变换：一个低通原型变出四种滤波器

设计好归一化低通原型 H_LP(s) 之后，用换元就能得到其余三种（B = ω2 − ω1，ω0 = sqrt(ω1·ω2)）：

目标	换元
低通 → 高通	s → ωp·ωc / s
低通 → 带通	s → (s² + ω0²) / (B·s)
低通 → 带阻	s → B·s / (s² + ω0²)

这一步是纯粹的代数替换，不改阶数也不改幅度形状，所以"设计一个低通原型"能通吃四种滤波器——这是模拟滤波器理论的中心思想。

四、两条数字化路线

路线 A：双线性变换（IIR）

s = (2/T) · (1 − z⁻¹) / (1 + z⁻¹)

它把整个 s 左半平面一一映射到单位圆内，所以稳定的模拟原型一定得到稳定的数字滤波器，而且把无穷大的频率轴压进了 [0, π]。

代价是频率被非线性压缩（频率弯曲），于是要预畸变：

Ω = (2/T)·tan(ω/2)        ω 是想要的数字角频率，Ω 是原型要用的模拟频率

不预畸变会差多少？ 以 fs = 8000 Hz 为例：

想要的数字截止	数字角频率 ω	预畸变后 Ω	不预畸变的实际截止	偏差
500 Hz	0.3927 rad	3182.60 Hz	493.72 Hz	1.26%
1000 Hz	0.7854 rad	6627.42 Hz	952.88 Hz	4.71%
2000 Hz	1.5708 rad	16000.00 Hz	1695.38 Hz	15.23%
3000 Hz	2.3562 rad	38627.42 Hz	2207.76 Hz	26.41%

低频段可以偷懒、高频段绝对不行：3000 Hz 处不预畸变会把截止点做到 2207.76 Hz——差了近三分之一。这是 IIR 数字滤波器设计里最常见的错误。

路线 B：窗函数法（FIR）

FIR 的理想低通冲激响应是一个 sinc：

h_d[n] = 2·fc' · sinc(2·fc'·(n − M))        M = (N−1)/2，fc' 是归一化截止（除以 fs）

sinc 无限长，直接截断会产生吉布斯过冲（[傅里叶变换](/elec/02-fourier.md) 见过），所以改成"理想响应 × 窗函数"：

h[n] = h_d[n] · w[n]

"窗型定衰减、长度定过渡带"是窗函数法的全部内容：

窗函数	过渡带 Δω	最小阻带衰减	旁瓣峰值
矩形	1.8π/N	−21 dB	−13 dB
汉宁	6.2π/N	−44 dB	−31 dB
汉明	6.6π/N	−53 dB	−41 dB
布莱克曼	11.1π/N	−74 dB	−57 dB

设计步骤只有四步：

1. 由 αs 选窗型（比如要 50 dB → 汉明或布莱克曼）；
2. 由 Δω 估长度：N ≈ 6.6π/Δω（汉明），取奇数做成 Type I 线性相位；
3. 算 h_d[n] 并乘窗；
4. 归一化：Σh[n] = 1，保证直流增益精确为 1。

五、线性相位与群延迟

群延迟定义为相位的负导数 −dφ/dω，物理含义是"这一小段频率被整体延迟了多少时间"。

	线性相位 FIR	一般 IIR
条件	h[n] = ±h[N−1−n]	无简单条件
群延迟	恒为 (N−1)/2 拍	随频率变化
波形	不失真（各频率同延迟）	会失真

(N−1)/2 = 53 拍在 8 kHz 下就是 6.625 ms——这就是线性相位要付的"纯延迟"代价。通信里这个延迟必须算进时序，音频里它能保证鼓点的瞬态不被抹开。

六、实现结构：为什么用二阶节而不是高阶直连

结构	形式	什么时候用
Direct Form I	先全零点再接全极点	直观、系数敏感
Direct Form II	共用延迟线，省一半存储	常用
级联二阶节	多个 biquad 相乘	高阶首选
并联	部分分式展开后相加	需要并行计算

级联二阶节的理由：高阶直接型的极点极靠近虚轴，系数量化误差会把极点推出单位圆，滤波器直接发散。拆成多个低 Q 的 biquad，量化误差被分散，稳定性有保证。定点 DSP 上从来不会去实现"8 阶差分方程"，只会实现 4 个二阶节。

示例

例 1：设计一个 107 抽头的汉明窗 FIR 低通并实测（C）

目标：fs = 8000 Hz，fc = 1000 Hz，阻带衰减要求 50 dB。选汉明窗，用上面的公式估出抽头数，然后用三个频率的信号实测它的增益——通带 500 Hz、截止 1000 Hz、阻带 1500 Hz。

/* 汉明窗 FIR 低通：107 抽头，实测通带/截止/阻带三个频率的增益与群延迟 */
#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.14159265358979323846
#define NTAP 107

int main(void)
{
    double fs = 8000.0, fc = 1000.0;
    double h[NTAP];
    double total = 0.0;
    int m = (NTAP - 1) / 2;
    static const double freqs[3] = {500.0, 1000.0, 1500.0};
    static const char *bands[3] = {"passband", "cutoff", "stopband"};

    for (int i = 0; i < NTAP; i++) {
        int k = i - m;
        double s = (k == 0) ? (2.0 * fc / fs) : (sin(2.0 * PI * fc / fs * k) / (PI * k));
        double w = 0.54 - 0.46 * cos(2.0 * PI * i / (NTAP - 1));
        h[i] = s * w;
        total += s * w;
    }
    for (int i = 0; i < NTAP; i++) {
        h[i] /= total;                      /* 归一化：直流增益精确为 1 */
    }

    printf("%-10s %-14s %-14s %-10s\n", "freq(Hz)", "abs(H)", "gain(dB)", "band");
    for (int j = 0; j < 3; j++) {
        double wr = 2.0 * PI * freqs[j] / fs;
        double sr = 0.0, si = 0.0;
        for (int i = 0; i < NTAP; i++) {
            sr += h[i] * cos(wr * i);
            si -= h[i] * sin(wr * i);
        }
        double g = sqrt(sr * sr + si * si);
        printf("%-10.0f %-14.6f %-14.4f %-10s\n", freqs[j], g, 20.0 * log10(g), bands[j]);
    }
    printf("group delay = %d samples = %.4f ms\n", m, m / fs * 1000.0);

    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

freq(Hz)   abs(H)         gain(dB)       band      
500        0.999701       -0.0026        passband  
1000       0.500000       -6.0206        cutoff    
1500       0.000531       -65.4961       stopband  
group delay = 53 samples = 6.6250 ms

读数：

• 500 Hz 处增益 −0.0026 dB，通带几乎是平的；
• 1000 Hz 处正好 −6.0206 dB——这个数字是"截止频率"的定义（幅度降为一半）。它能精确落在 −6 dB，说明系数归一化（直流增益 = 1）和对称性都对；
• 1500 Hz 处 −65.50 dB，已经比窗函数表的 −53 dB 还要深，余量充足；
• 群延迟 53 拍 = 6.625 ms 就是线性相位的代价。

例 2：从指标到系数，四件事一次验完（Python）

C 段只做了 FIR 的实现与实测。这一段补上设计方法本身：巴特沃斯阶数反解、双线性变换的预畸变误差、FIR 窗函数法的完整设计与实测、以及巴特沃斯极点的 Q 分布。

import math


def pad(s, w):
    dw = sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(s))
    return str(s) + " " * max(0, w - dw)


def table(head, rows, gap=2):
    data = [[str(c) for c in r] for r in rows]
    w = [max([sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(head[i]))]
             + [sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in r[i]) for r in data]) + gap
         for i in range(len(head))]
    print("  " + "".join(pad(head[i], w[i]) for i in range(len(head))))
    for r in data:
        print("  " + "".join(pad(r[i], w[i]) for i in range(len(head))))


def fft(x):
    n = len(x)
    re = [float(v) for v in x]
    im = [0.0] * n
    j = 0
    for i in range(n):
        if i < j:
            re[i], re[j] = re[j], re[i]
        m = n >> 1
        while m >= 1 and j >= m:
            j -= m
            m >>= 1
        j += m
    length = 2
    while length <= n:
        half = length >> 1
        for s in range(0, n, length):
            for t in range(half):
                th = -2.0 * math.pi * t / length
                wr, wi = math.cos(th), math.sin(th)
                br, bi = re[s + half + t], im[s + half + t]
                tr = wr * br - wi * bi
                ti = wr * bi + wi * br
                re[s + half + t] = re[s + t] - tr
                im[s + half + t] = im[s + t] - ti
                re[s + t] += tr
                im[s + t] += ti
        length <<= 1
    return re, im


print("=== 1. 巴特沃斯低通：从指标反解阶数（最多平坦幅度）===")
ap = 1.0
wp = 1.0


def butt_n(ap_db, ws, as_db):
    return math.log10((10 ** (as_db / 10.0) - 1) / (10 ** (ap_db / 10.0) - 1)) / (2 * math.log10(ws))


rows = []
for as_db in (20.0, 40.0, 60.0):
    nc = butt_n(ap, 2.0, as_db)
    n = math.ceil(nc)
    wc = wp / (10 ** (ap / 10.0) - 1) ** (1.0 / (2 * n))
    real = 10 * math.log10(1 + (2.0 / wc) ** (2 * n))
    rows.append(["%.0f dB" % as_db, "%.4f" % nc, "%d" % n, "%.5f" % wc, "%.2f dB" % real])
table(["阻带要求（ωs = 2）", "阶数计算值", "取整 n", "校核用 ωc", "ωs 处实际衰减"], rows)
print("  通带指标固定 αp = 1 dB @ ωp = 1，阻带从 ωs = 2 起。")
print("  阶数取整后必须回代校核：n = 8 时实际衰减 42.30 dB，比要求的 40 dB 多出 2.30 dB 余量。")
print()

print("=== 2. 双线性变换：不预畸变会偏多少 ===")
fs = 8000.0
T = 1.0 / fs
rows = []
for f in (500.0, 1000.0, 2000.0, 3000.0):
    om = 2 * math.pi * f / fs
    warp = (2.0 / T) * math.tan(om / 2.0)
    naive_real = (fs / math.pi) * math.atan(math.pi * f / fs)
    rows.append(["%.0f Hz" % f, "%.4f rad" % om, "%.2f Hz" % warp,
                 "%.2f Hz" % naive_real, "%.2f%%" % ((f - naive_real) / f * 100)])
table(["想要的数字截止", "数字角频率 ω", "预畸变模拟频率 Ω", "不预畸变实际截止", "偏差"], rows)
print("  预畸变公式：Ω = (2/T)·tan(ω/2)。低频段 tan(x) ≈ x，偏不偏看不出来；")
print("  到 3000 Hz（0.75 倍奈奎斯特）不预畸变已经把 3000 Hz 做成了 2207.76 Hz，偏掉 26.41%。")
print()

print("=== 3. FIR 窗函数法：窗型定衰减，长度定过渡带 ===")
rows = [["窗函数", "过渡带 Δω", "最小阻带衰减", "旁瓣峰值"],
        ["矩形", "1.8π/N", "−21 dB", "−13 dB"],
        ["汉宁", "6.2π/N", "−44 dB", "−31 dB"],
        ["汉明", "6.6π/N", "−53 dB", "−41 dB"],
        ["布莱克曼", "11.1π/N", "−74 dB", "−57 dB"]]
table(rows[0], rows[1:])
as_need = 50.0
df_edge = 250.0
dw = 2 * math.pi * df_edge / fs
n_est = 6.6 * math.pi / dw
n_tap = int(math.ceil(n_est))
if n_tap % 2 == 0:
    n_tap += 1
fc = 1000.0 / fs
m = (n_tap - 1) // 2
h = []
for i in range(n_tap):
    k = i - m
    if k == 0:
        s = 2 * fc
    else:
        s = math.sin(2 * math.pi * fc * k) / (math.pi * k)
    w = 0.54 - 0.46 * math.cos(2 * math.pi * i / (n_tap - 1))
    h.append(s * w)
gsum = sum(h)
h = [v / gsum for v in h]
big = 8192
hb = h + [0.0] * (big - n_tap)
re2, im2 = fft(hb)
mag = [abs(complex(re2[k], im2[k])) for k in range(big // 2 + 1)]
kpass = int(800.0 / fs * big)
kstop = int(1500.0 / fs * big)
rip = max(abs(mag[k]) for k in range(kpass + 1))
stop = max(mag[k] for k in range(kstop, big // 2 + 1))
print("  目标：阻带衰减 ≥ 50 dB → 选汉明窗；过渡带 250 Hz（fs = 8000）→ Δω = %.4f rad" % dw)
print("  抽头数估算 N = 6.6π/Δω = %.2f → 取奇数 N = %d 抽头（Type I，可做严格线性相位）" % (n_est, n_tap))
rows = [
    ["通带 0～800 Hz 最大偏差", "%.6f（%.4f dB）" % (rip, 20 * math.log10(rip))],
    ["阻带 1500～4000 Hz 最小衰减", "%.2f dB" % (20 * math.log10(stop))],
    ["群延迟 (N−1)/2", "%d 拍 = %.4f ms" % (m, m / fs * 1000)],
    ["系数总和（直流增益）", "%.6f" % gsum],
]
table(["实测指标", "数值"], rows)
print("  实测阻带 %.2f dB，比窗函数表的 −53 dB 还深一点；通带几乎平的（%.4f dB）。"
      % (20 * math.log10(stop), 20 * math.log10(rip)))
print("  两条规律：窗型决定能达到的衰减下限，抽头数决定过渡带的宽窄。")
print()

print("=== 4. 巴特沃斯极点与 Q 值：n 阶就是 n 个二阶节 ===")
n = 8
rows = []
for k in range(n):
    th = math.pi * (2 * k + n + 1) / (2 * n)
    rows.append(["k = %d" % k, "%.4f" % math.cos(th), "%.4f" % math.sin(th), "%.4f°" % math.degrees(th), "%.4f" % (1.0/(2*abs(math.cos(th))))])
table(["极点序号", "实部", "虚部", "极角", "Q = 1/(2σ)"], rows)
print("  n = 8 的 8 个极点均匀分布在同一段半圆上（巴特沃斯的特点：幅度最平坦），")
print("  每一对共轭极点做成一个二阶节（biquad），8 阶就是 4 个 biquad 级联 —— 这就是实际滤波器的结构。")
print("  阶数越高极点越靠近虚轴（Q 越大），对系数量化越敏感 —— 数字实现时宁可级联多个二阶节。")

python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

=== 1. 巴特沃斯低通：从指标反解阶数（最多平坦幅度）===
  阻带要求（ωs = 2）  阶数计算值  取整 n  校核用 ωc  ωs 处实际衰减  
  20 dB               4.2894      5       1.14468    24.25 dB       
  40 dB               7.6185      8       1.08812    42.30 dB       
  60 dB               10.9405     11      1.06334    60.36 dB       
  通带指标固定 αp = 1 dB @ ωp = 1，阻带从 ωs = 2 起。
  阶数取整后必须回代校核：n = 8 时实际衰减 42.30 dB，比要求的 40 dB 多出 2.30 dB 余量。

=== 2. 双线性变换：不预畸变会偏多少 ===
  想要的数字截止  数字角频率 ω  预畸变模拟频率 Ω  不预畸变实际截止  偏差    
  500 Hz          0.3927 rad    3182.60 Hz        493.72 Hz         1.26%   
  1000 Hz         0.7854 rad    6627.42 Hz        952.88 Hz         4.71%   
  2000 Hz         1.5708 rad    16000.00 Hz       1695.38 Hz        15.23%  
  3000 Hz         2.3562 rad    38627.42 Hz       2207.76 Hz        26.41%  
  预畸变公式：Ω = (2/T)·tan(ω/2)。低频段 tan(x) ≈ x，偏不偏看不出来；
  到 3000 Hz（0.75 倍奈奎斯特）不预畸变已经把 3000 Hz 做成了 2207.76 Hz，偏掉 26.41%。

=== 3. FIR 窗函数法：窗型定衰减，长度定过渡带 ===
  窗函数    过渡带 Δω  最小阻带衰减  旁瓣峰值  
  矩形      1.8π/N     −21 dB       −13 dB   
  汉宁      6.2π/N     −44 dB       −31 dB   
  汉明      6.6π/N     −53 dB       −41 dB   
  布莱克曼  11.1π/N    −74 dB       −57 dB   
  目标：阻带衰减 ≥ 50 dB → 选汉明窗；过渡带 250 Hz（fs = 8000）→ Δω = 0.1963 rad
  抽头数估算 N = 6.6π/Δω = 105.60 → 取奇数 N = 107 抽头（Type I，可做严格线性相位）
  实测指标                     数值                   
  通带 0～800 Hz 最大偏差      1.000524（0.0046 dB）  
  阻带 1500～4000 Hz 最小衰减  -58.13 dB              
  群延迟 (N−1)/2              53 拍 = 6.6250 ms      
  系数总和（直流增益）         1.000471               
  实测阻带 -58.13 dB，比窗函数表的 −53 dB 还深一点；通带几乎平的（0.0046 dB）。
  两条规律：窗型决定能达到的衰减下限，抽头数决定过渡带的宽窄。

=== 4. 巴特沃斯极点与 Q 值：n 阶就是 n 个二阶节 ===
  极点序号  实部     虚部     极角       Q = 1/(2σ)  
  k = 0     -0.1951  0.9808   101.2500°  2.5629      
  k = 1     -0.5556  0.8315   123.7500°  0.9000      
  k = 2     -0.8315  0.5556   146.2500°  0.6013      
  k = 3     -0.9808  0.1951   168.7500°  0.5098      
  k = 4     -0.9808  -0.1951  191.2500°  0.5098      
  k = 5     -0.8315  -0.5556  213.7500°  0.6013      
  k = 6     -0.5556  -0.8315  236.2500°  0.9000      
  k = 7     -0.1951  -0.9808  258.7500°  2.5629      
  n = 8 的 8 个极点均匀分布在同一段半圆上（巴特沃斯的特点：幅度最平坦），
  每一对共轭极点做成一个二阶节（biquad），8 阶就是 4 个 biquad 级联 —— 这就是实际滤波器的结构。
  阶数越高极点越靠近虚轴（Q 越大），对系数量化越敏感 —— 数字实现时宁可级联多个二阶节。

四条结论：

1. 巴特沃斯阶数要取整后回代校核：40 dB 的要求算出 n = 7.6185，取整到 8 阶；用 Ωc = 1.08812 回代，实际衰减 42.30 dB——多出 2.30 dB 余量。直接报"n = 7.6"或不校核都是错的。
2. 预畸变在高频段绝不能省：1000 Hz 处不预畸变偏 4.71%，3000 Hz 处偏 26.41%（把 3000 Hz 做成了 2207.76 Hz）。
3. FIR 设计公式够用：要求 50 dB 衰减 → 选汉明窗；过渡带 250 Hz（Δω = 0.1963 rad）→ N ≈ 105.60，取 107 抽头，实测阻带 −58.13 dB、通带偏差 0.0046 dB，都达标。
4. 极点分布决定实现方式：n = 8 的极点极角从 101.25° 到 258.75° 均匀铺开，Q 从 0.5098 到 2.5629（差 5 倍）——高 Q 的那几对就是量化最敏感的地方，也是必须拆成 biquad 的原因。

考点

考点

1. 指标五要素

ωp / ωs / αp / αs / Δω = ωs − ωp。过渡带宽度直接决定阶数，是所有设计题的起点。

2. 巴特沃斯（高频考点）

• |H(jΩ)|² = 1/(1 + (Ω/Ωc)^(2n))；Ω = Ωc 处恒为 −3 dB，与 n 无关。
• 阶数：n ≥ lg[(10^(αs/10)−1)/(10^(αp/10)−1)] / (2·lg(ωs/ωp))，取整后回代校核。
• 极点：半径 Ωc 的左半圆上等角度分布，角度 π(2k+n+1)/(2n)。
• 通带最平坦、无波纹，但过渡带最宽（同阶数下比切比雪夫差）。

3. 频率变换

低通原型换元即得高通 s → ωpωc/s、带通 s → (s²+ω0²)/(B s)、带阻 s → B s/(s²+ω0²)，其中 B = ω2 − ω1、ω0 = sqrt(ω1ω2)。阶数不变、幅度形状不变。

4. 双线性变换与预畸变（最易错）

• s = (2/T)(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹)；把左半平面映射到单位圆内，稳定性自动保持。
• 预畸变公式 Ω = (2/T)tan(ω/2)，绝不能省：8 kHz 下 3000 Hz 不预畸变会偏 26.41%。
• 记住 tan(x) ≈ x 只在低频成立——"低频看着没问题"不代表公式对。

5. FIR 窗函数法

• "窗型定衰减、长度定过渡带"。
• 过渡带：矩形 1.8π/N、汉宁 6.2π/N、汉明 6.6π/N、布莱克曼 11.1π/N。
• 抽头必须归一化（Σh[n] = 1）才有精确的直流增益 1。
• 取奇数长度才能做成 Type I 严格线性相位。

6. 线性相位与群延迟

• 条件 h[n] = ±h[N−1−n]；群延迟恒为 (N−1)/2 拍（本页 107 抽头 → 53 拍 → 6.625 ms）。
• 线性相位换的是"波形不失真"，代价是固定延迟与更多阶数。

7. 易错点清单

• 忘了"取整后回代校核"，直接拿计算出的非整数当阶数。
• 不预畸变就用双线性变换（高频段误差可达 26% 以上）。
• 把"截止频率"当成 −3 dB：模拟原型是 −3 dB（Ωc），而 FIR 窗函数法的 fc 习惯定义在 −6 dB——本页例 1 实测 1000 Hz 处正好 −6.0206 dB，这就是定义差异。
• FIR 抽头数取偶数还想做 Type I 线性相位。
• 不归一化就报通带增益：直流增益会是 Σh[n] 而不是 1。
• 高阶滤波器直接写成一个 8 阶差分方程：量化的极点会跑出单位圆，必须拆 biquad。

小结

• 滤波器设计 = 从指标反求系数，指标五要素里过渡带 Δω 决定一切代价。
• 巴特沃斯最平坦但过渡带最宽：n 由公式反解、取整、回代校核；极点均匀铺在左半圆上，越高阶 Q 越大。
• 频率变换让一个低通原型通吃四种滤波器，只做代数换元，不改阶数。
• IIR 走双线性变换，必须预畸变：低频能偷懒，高频差 26%（3000 Hz 变成 2207.76 Hz）。
• FIR 走窗函数法，"窗型定衰减、长度定过渡带"：本页 107 抽头汉明窗实测阻带 −58.13 dB、通带偏差 0.0046 dB、群延迟 53 拍。
• 实现上一律级联二阶节：高 Q 极点对量化最敏感，这正是"为什么实际芯片上都是 biquad 串联"的答案。

回到分支：上一章把 H(z) 变成循环里的一行，这一章解决了"那一行的系数从哪来"。到这里，Z 变换 → 数字信号处理（DSP） → 滤波器设计这条线就走完了：看频谱（变换）、定系统（设计）、跑算法（实现）。

往下，滤波器在系统里的位置由通信决定——每一级接收机前端都靠它选出想要的频段、滤掉邻道干扰，这条线索接到 通信原理：调制、编码、信道；而 采样定理 会交代所有这些数字处理的入口约束。前置数学仍是 复变函数与积分变换。

这一章回答的是"给定指标怎么把滤波器造出来"；下一章问的是"信号怎么被搬上载波、又在有噪声的信道上活下来"。

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