Appearance
电磁场与电磁波（进阶）
概念
前面所有章节都默认"信号沿导线传播"这件事是显然的。但导线里到底发生了什么、能量又是怎么跑到天线外面的——这才是电磁场要回答的问题。
一句话定义：电磁场是电荷与电流在空间中造成的影响；电磁波是这种影响的变化以有限速度向外传播的过程。
麦克斯韦方程组的全部意义，是它把"电"和"磁"合并成了一个东西，并且顺手预言了电磁波的存在与速度——c = 1/sqrt(ε0μ0) 算出来正好是光速。光就是电磁波，这不是类比，是同一个方程的解。
这一章是进阶部分的第一半：给出一套"波在空间和介质里怎么走"的语言。下一章 微波与射频基础 会把这套语言变成工程指标（S 参数、驻波比、噪声系数、灵敏度）。
原理
一、麦克斯韦方程组：四个方程，两种形式
| 方程 | 积分形式 | 说了什么 |
|---|---|---|
| 高斯定律 | ∮D·dS = Q | 电荷是电场的源 |
| 磁通连续 | ∮B·dS = 0 | 没有磁荷（磁力线闭合） |
| 法拉第定律 | ∮E·dl = −dΦB/dt | 变化的磁场产生电场 |
| 安培-麦克斯韦定律 | ∮H·dl = I + dΦD/dt | 电流和变化的电场都产生磁场 |
对应对微分形式是 ∇·D = ρ、∇·B = 0、∇×E = −∂B/∂t、∇×H = J + ∂D/∂t。
只需要记住两处不对称，其余都是对称的：
- 磁通连续那条右边是 0（没有磁单极子）——这条不对称是本质的；
- 安培定律多了
∂D/∂t这一项（位移电流）——这一项才是电磁波能存在的唯一原因。没有它，方程组的解里就不会有"自持传播"的波。
静场是这套方程的特例（时间导数为零）：
| 静电场 | 静磁场 |
|---|---|
| 库仑定律 / 高斯定律 | 毕奥-萨伐尔定律 |
电位 V、E = −∇V | 矢量磁位 A、B = ∇×A |
泊松方程 ∇²V = −ρ/ε | 无源区 ∇²A = −μJ |
拉普拉斯方程 ∇²V = 0（无源） | 磁力线闭合 |
二、波动方程与平面波：三个方向互相垂直
从麦克斯韦方程组直接推出波动方程：
∇²E = μ ε · ∂²E/∂t² 传播速度 v = 1/sqrt(με)真空中的速度 c = 1/sqrt(ε0μ0) = 299792458 m/s——定义值，不是测出来的。
均匀平面波的三条性质（背下来）：
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 三垂直 | E ⊥ H ⊥ 传播方向 k，且 E × H 指向传播方向（右手定则） |
| 同相 | E 与 H 在时间上同相，比值是常数 |
| 波阻抗 | η = E/H = sqrt(μ/ε)；真空 η0 = 376.73 Ω |
介质的三个效果（εr、μr 是相对值）：
v = c / sqrt(εr·μr) λ = λ0 / sqrt(εr·μr) η = η0 / sqrt(εr·μr)| 介质 | εr | 波阻抗 η | 相速 v | v/c |
|---|---|---|---|---|
| 真空 / 空气 | 1.00 | 376.73 Ω | 2.998e+08 m/s | 1.0000 |
| 聚乙烯 | 2.25 | 251.15 Ω | 1.999e+08 m/s | 0.6667 |
| FR-4 板材 | 4.40 | 179.60 Ω | 1.429e+08 m/s | 0.4767 |
| 玻璃 | 6.00 | 153.80 Ω | 1.224e+08 m/s | 0.4082 |
| 水（理想无损） | 80.00 | 42.12 Ω | 3.352e+07 m/s | 0.1118 |
这张表最有用的一行是 FR-4：v/c = 0.4767 意味着PCB 上的信号比光速慢一半以上，所以"走线延时"必须按 c/√εr 算，不能按光速算。这是所有高速数字设计（DDR、PCIe、SerDes）的时序基础。
三、频率、波长，以及"什么时候要当波看"
λ = v / f| 频段 | 频率 f | 波长 λ | λ/4 的物理尺寸 |
|---|---|---|---|
| 工频 | 50 Hz | 5995.8 km | 1499 km |
| 中波广播 | 1 MHz | 299.8 m | 7495 cm |
| 调频广播 | 100 MHz | 2.998 m | 74.95 cm |
| Wi-Fi 2.4G | 2.4 GHz | 124.9 mm | 31.23 mm |
| Wi-Fi 5G | 5 GHz | 59.96 mm | 14.99 mm |
| 毫米波 | 24 GHz | 12.49 mm | 3.123 mm |
判据只有一条：当电路尺寸 l 与波长可比（一般取 l > λ/10）时，集总电路模型就失效了，必须改用分布参数（传输线）来描述。
- 50 Hz 的波长 6000 km，一栋楼在这个尺度上是"点"，所以工频永远用集总电路算；
- 2.4 GHz 的波长 124.9 mm，一块 PCB 上 3 cm 的走线已经是
0.24λ——这时候走线不能当"导线"，只能当"阻抗"。
四、导体中的传播：趋肤深度
良导体里波会指数衰减，衰减到 1/e 的深度叫趋肤深度：
δ = 1 / sqrt(π f μ σ) σ 是电导率| 导体 | 频率 | 趋肤深度 δ |
|---|---|---|
| 铜 | 50 Hz | 9.3459 mm |
| 铜 | 1 MHz | 0.0661 mm |
| 铜 | 1 GHz | 0.0021 mm |
| 铝 | 1 MHz | 0.0851 mm |
| 铁（μr = 1000） | 50 Hz | 0.7118 mm |
三个推论，每一个都是工程上的硬事实：
- 低频电流走整个截面（50 Hz 时铜的
δ = 9.3459 mm比家用线径还粗）；高频电流只走表面薄层（1 GHz 时只剩 2.09 μm）。 - 所以高频电阻随
sqrt(f)增大：截面小了，同样的电流在更小的面积上挤，损耗上升。这是高频线圈、开关电源变压器要用多股绞合线（利兹线）的理由。 - 所以微波用波导而不是实心导线：当
δ只有微米量级，把导体做成空心的铜管完全不影响导电，却省了重量和成本——波导就是一截空心金属管，信号在管内空气中传播、只在管壁上感应出极薄的电流层。
五、边界条件与反射：匹配到底在匹配什么
两种介质交界处，场的切向分量连续，由此得到反射系数：
Γ = (η2 − η1) / (η2 + η1)三个配套指标：
| 指标 | 定义 | 含义 |
|---|---|---|
| 驻波比 SWR | (1 + ∣Γ∣) / (1 − ∣Γ∣) | 线上电压最大值与最小值之比；1 最好，∞ 全反射 |
| 回波损耗 | −20·lg∣Γ∣ | 反射了多少 dB，正数越大越好 |
| 反射功率占比 | ∣Γ∣² × 100% | 真正有多少能量被弹回来 |
以 Z0 = 50 Ω 的系统为例：
负载 ZL | 反射系数 Γ | 驻波比 SWR | 回波损耗 | 反射功率占比 |
|---|---|---|---|---|
| 0 Ω（短路） | −1.0000 | ∞ | 0.00 dB | 100.00% |
| 25 Ω | −0.3333 | 2.0000 | 9.54 dB | 11.11% |
| 50 Ω | +0.0000 | 1.0000 | ∞ | 0.00% |
| 75 Ω | +0.2000 | 1.5000 | 13.98 dB | 4.00% |
| 100 Ω | +0.3333 | 2.0000 | 9.54 dB | 11.11% |
| 开路 | +1.0000 | ∞ | 0.00 dB | 100.00% |
注意 Γ 的符号：ZL < Z0 时是负的（反射波与入射波反相），ZL > Z0 时是正的。但 SWR 与损耗只看 ∣Γ∣，符号不带信息量。
λ/4 变换器：一段长度恰好 λ/4、特性阻抗为 Z0' 的线，能把负载 ZL 变成 Z_in = Z0'²/ZL。要把 100 Ω 负载配到 50 Ω 线上：
Z0' = sqrt(50 × 100) = 70.71 Ω这就是"λ/4 是阻抗变换器"的完整用法——只管一个频率，所以是窄带匹配的经典手段。
六、平面波的功率与天线
自由空间中：
功率密度 S = E × H = E² / η0 W/m²| 电场强度 E | 磁场强度 H = E/η0 | 功率密度 S | 折成 dBm/m² |
|---|---|---|---|
| 0.001 V/m | 2.6544e-06 A/m | 2.6544e-09 W/m² | −55.76 |
| 0.010 V/m | 2.6544e-05 A/m | 2.6544e-07 W/m² | −35.76 |
| 0.100 V/m | 2.6544e-04 A/m | 2.6544e-05 W/m² | −15.76 |
| 1.000 V/m | 2.6544e-03 A/m | 2.6544e-03 W/m² | +4.24 |
| 10.000 V/m | 2.6544e-02 A/m | 2.6544e-01 W/m² | +24.24 |
1 V/m 对应 2.65 mW/m²——看着很小，但它已经是手机基站附近的典型量级。这张表也是电磁辐射暴露标准的出发点：标准限值就是用这样的功率密度（频段加权后）表述的。
Friis 传输公式（连起发射、天线、距离）：
Pr = Pt · Gt · Gr · (λ / (4πd))²其中的 (4πd/λ)² 就是自由空间损耗：
FSPL(dB) = 20·lg(4πd/λ)| 频率 | 波长 | d = 1 m | d = 10 m | d = 100 m | d = 1000 m |
|---|---|---|---|---|---|
| 900 MHz | 0.3331 m | 31.53 | 51.53 | 71.53 | 91.53 |
| 2.4 GHz | 0.1249 m | 40.05 | 60.05 | 80.05 | 100.05 |
| 5 GHz | 0.0600 m | 46.43 | 66.43 | 86.43 | 106.43 |
每十倍距离多 20 dB——这条规律如此干净，是因为 20lg 正好把 d 的十次方变成 20。
取 Pt = 20 dBm、Gt = Gr = 2 dBi（EIRP = 22 dBm）：
| 距离 | 自由空间损耗 | 接收功率 Pr | 折成 mW |
|---|---|---|---|
| 1 m | 40.05 dB | −16.05 dBm | 2.4820e-02 |
| 10 m | 60.05 dB | −36.05 dBm | 2.4820e-04 |
| 100 m | 80.05 dB | −56.05 dBm | 2.4820e-06 |
| 1000 m | 100.05 dB | −76.05 dBm | 2.4820e-08 |
2.4 GHz 在 1 km 处收到 −76.05 dBm。而常见接收机的灵敏度大约在 −90 到 −100 dBm（下一章会算），所以这个链路只余 14 到 24 dB 的余量——这就是为什么 Wi-Fi 的实际覆盖通常只有几十到几百米，而不是几公里。
示例
例 1：链路预算：从 1 m 到 1 km（C）
用 Friis 公式算 2.4 GHz、Pt = 20 dBm、Gt = Gr = 2 dBi 在四个距离上的损耗与接收功率。
/* 链路预算：Friis 公式算自由空间损耗，再折成接收功率 */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define C0 299792458.0
#define PI 3.14159265358979323846
int main(void)
{
double f = 2.4e9;
double pt = 20.0, gt = 2.0, gr = 2.0;
double lam = C0 / f;
static const double dist[4] = {1.0, 10.0, 100.0, 1000.0};
printf("freq = %.3f GHz, lambda = %.4f m\n", f / 1e9, lam);
printf("Pt = %.1f dBm, Gt = %.1f dBi, Gr = %.1f dBi, EIRP = %.1f dBm\n", pt, gt, gr, pt + gt);
printf("%-8s %-12s %-12s %-12s\n", "d(m)", "FSPL(dB)", "Pr(dBm)", "Pr(mW)");
for (int i = 0; i < 4; i++) {
double d = dist[i];
double fspl = 20.0 * log10(4.0 * PI * d / lam);
double pr = pt + gt + gr - fspl;
printf("%-8.0f %-12.2f %-12.2f %-12.4e\n", d, fspl, pr, pow(10.0, pr / 10.0));
}
printf("\nfree-space loss grows 20 dB per decade of distance.\n");
return 0;
}
c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行
预期输出：
freq = 2.400 GHz, lambda = 0.1249 m
Pt = 20.0 dBm, Gt = 2.0 dBi, Gr = 2.0 dBi, EIRP = 22.0 dBm
d(m) FSPL(dB) Pr(dBm) Pr(mW)
1 40.05 -16.05 2.4820e-02
10 60.05 -36.05 2.4820e-04
100 80.05 -56.05 2.4820e-06
1000 100.05 -76.05 2.4820e-08
free-space loss grows 20 dB per decade of distance.读数：损耗从 40.05 dB 到 100.05 dB，四个点每个相差整 20 dB——这就是"每十倍距离 +20 dB"。接收功率从 2.4820e-02 mW（约 −16 dBm）一路掉到 2.4820e-08 mW（−76 dBm），功率掉了六个数量级。
例 2：波长、趋肤深度、波阻抗、反射、功率、链路一次算完（Python）
C 段只走了链路预算这一条。这一段把整章的账补齐：六个频段的波长与 λ/4 尺寸、三种导体的趋肤深度、五种介质的波阻抗与相速、完整反射表、平面波功率密度、以及自由空间损耗随频率的变化。
import math
def pad(s, w):
dw = sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(s))
return str(s) + " " * max(0, w - dw)
def table(head, rows, gap=2):
data = [[str(c) for c in r] for r in rows]
w = [max([sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(head[i]))]
+ [sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in r[i]) for r in data]) + gap
for i in range(len(head))]
print(" " + "".join(pad(head[i], w[i]) for i in range(len(head))))
for r in data:
print(" " + "".join(pad(r[i], w[i]) for i in range(len(head))))
C0 = 299792458.0
print("=== 1. 频率、波长与“什么时候要当波看” ===")
rows = []
for name, fs, f in (("工频", "50 Hz", 50.0), ("中波广播", "1 MHz", 1e6), ("调频广播", "100 MHz", 100e6),
("Wi-Fi 2.4G", "2.4 GHz", 2.4e9), ("Wi-Fi 5G", "5 GHz", 5e9),
("毫米波", "24 GHz", 24e9)):
lam = C0 / f
if lam >= 1000:
ls = "%.1f km" % (lam / 1000)
qs = "%.4g km" % (lam / 4000)
elif lam >= 1:
ls = "%.4g m" % lam
qs = "%.4g cm" % (lam * 25)
else:
ls = "%.4g mm" % (lam * 1000)
qs = "%.4g mm" % (lam * 250)
rows.append([name, fs, ls, qs])
table(["频段", "频率 f", "波长 λ = c/f", "λ/4 的物理尺寸"], rows)
print(" 50 Hz 的波长是 6000 km，一栋楼里根本谈不上“波”，所以工频永远用集总电路算；")
print(" 2.4 GHz 的波长只有 12.5 cm，一块 PCB 走线就已经是“可观的波长分数”。")
print()
print("=== 2. 趋肤深度：高频电流为什么只走表面 ===")
rows = []
for name, sigma in (("铜", 5.8e7), ("铝", 3.5e7), ("铁（μr = 1000）", 1.0e7)):
for flab, f in (("50 Hz", 50.0), ("1 MHz", 1e6), ("1 GHz", 1e9)):
mur = 1000.0 if name.startswith("铁") else 1.0
mu = 4e-7 * math.pi * mur
d = math.sqrt(2.0 / (2 * math.pi * f * mu * sigma))
rows.append([name, flab, "%.4f mm" % (d * 1000)])
table(["导体", "频率", "趋肤深度 δ"], rows)
print(" 铜在 50 Hz 的 δ = 9.346 mm（比家用线径还粗，电流走整个截面）；")
print(" 到 1 MHz 只剩 66.1 μm，1 GHz 只剩 2.09 μm —— 频率越高，电流越挤在表面上走。")
print(" 这就是高频导线要镀银、微波用波导而不是实心铜管的原因。")
print()
print("=== 3. 波阻抗、反射与驻波：匹配到底在匹配什么 ===")
eta0 = 376.730313668
rows = []
for name, er in (("真空 / 空气", 1.0), ("聚乙烯", 2.25), ("FR-4 板材", 4.4), ("玻璃", 6.0), ("水", 80.0)):
eta = eta0 / math.sqrt(er)
v = C0 / math.sqrt(er)
rows.append([name, "%.2f" % er, "%.2f Ω" % eta, "%.3e m/s" % v, "%.4f" % (v / C0)])
table(["介质", "相对介电常数 εr", "波阻抗 η", "相速 v", "v/c"], rows)
rows = []
for zl in (0.0, 25.0, 50.0, 75.0, 100.0, 1e9):
z0 = 50.0
g = (zl - z0) / (zl + z0) if zl < 1e8 else 1.0
swr = (1 + abs(g)) / (1 - abs(g)) if abs(g) < 1 else float("inf")
rl = -20 * math.log10(abs(g)) if abs(g) > 0 else float("inf")
pwr = abs(g) ** 2 * 100
rows.append(["%.0f Ω" % zl if zl < 1e8 else "开路",
"%+.4f" % g if zl < 1e8 else "+1.0000",
"%.4f" % swr if swr != float("inf") else "inf",
"%.2f dB" % abs(rl) if rl != float("inf") else "inf",
"%.2f%%" % pwr])
table(["负载 ZL（Z0 = 50 Ω）", "反射系数 Γ", "驻波比 SWR", "回波损耗 −20lg|Γ|", "反射功率占比"], rows)
print(" Γ = (ZL − Z0)/(ZL + Z0) 是这一节唯一的公式：ZL = Z0 时 Γ = 0、SWR = 1，能量全进负载；")
print(" ZL = 75 Ω 时 Γ = 0.2，看着不大，但 SWR 已经到 1.50，回波损耗 13.98 dB。")
print(" λ/4 变换器：把 100 Ω 负载配到 50 Ω 线，只需一段 Z0' = sqrt(50×100) = %.2f Ω 的线。"
% math.sqrt(50 * 100))
print()
print("=== 4. 平面波的功率：E 与 H 差一个 377 Ω ===")
rows = []
for e in (0.001, 0.01, 0.1, 1.0, 10.0):
h = e / eta0
s = e * h
rows.append(["%.3f V/m" % e, "%.4e A/m" % h, "%.4e W/m^2" % s,
"%.2f dBm/m^2" % (10 * math.log10(s * 1000))])
table(["电场强度 E", "磁场强度 H = E/η0", "功率密度 S = E·H", "折成 dBm/m^2"], rows)
print(" 自由空间里 E 和 H 永远是同相、垂直、比值固定 376.73 Ω —— 这是平面波最重要的一个性质。")
print(" E = 1 V/m 对应 S = 2.65 mW/m^2，看着很小，但它已经是手机基站附近的典型量级。")
print()
print("=== 5. 链路预算：Friis 公式把发射、天线、距离串起来 ===")
rows = []
for f in (900e6, 2.4e9, 5e9):
lam = C0 / f
line = []
for d in (1.0, 10.0, 100.0, 1000.0):
fspl = 20 * math.log10(4 * math.pi * d / lam)
line.append("%.2f" % fspl)
rows.append(["%.4g Hz" % f, "%.4f m" % lam, line[0], line[1], line[2], line[3]])
table(["频率", "波长", "d = 1 m", "d = 10 m", "d = 100 m", "d = 1000 m"], rows)
pt, gt, gr = 20.0, 2.0, 2.0
lam = C0 / 2.4e9
rows = []
for d in (1.0, 10.0, 100.0, 1000.0):
fspl = 20 * math.log10(4 * math.pi * d / lam)
pr = pt + gt + gr - fspl
rows.append(["%.0f m" % d, "%.2f dB" % fspl, "%.2f dBm" % pr,
"%.6g mW" % (10 ** (pr / 10.0))])
table(["距离", "自由空间损耗", "接收功率 Pr", "折成 mW（Pt = 20 dBm, Gt = Gr = 2 dBi）"], rows)
print(" 自由空间损耗每扩大 10 倍距离就多 20 dB —— 这是所有无线链路预算的起点。")
print(" 2.4 GHz、1 km 时收到 -76.05 dBm，已经接近常见接收机的灵敏度下限（约 -90 到 -100 dBm）。")
python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行
预期输出：
=== 1. 频率、波长与“什么时候要当波看” ===
频段 频率 f 波长 λ = c/f λ/4 的物理尺寸
工频 50 Hz 5995.8 km 1499 km
中波广播 1 MHz 299.8 m 7495 cm
调频广播 100 MHz 2.998 m 74.95 cm
Wi-Fi 2.4G 2.4 GHz 124.9 mm 31.23 mm
Wi-Fi 5G 5 GHz 59.96 mm 14.99 mm
毫米波 24 GHz 12.49 mm 3.123 mm
50 Hz 的波长是 6000 km，一栋楼里根本谈不上“波”，所以工频永远用集总电路算；
2.4 GHz 的波长只有 12.5 cm，一块 PCB 走线就已经是“可观的波长分数”。
=== 2. 趋肤深度：高频电流为什么只走表面 ===
导体 频率 趋肤深度 δ
铜 50 Hz 9.3459 mm
铜 1 MHz 0.0661 mm
铜 1 GHz 0.0021 mm
铝 50 Hz 12.0310 mm
铝 1 MHz 0.0851 mm
铝 1 GHz 0.0027 mm
铁（μr = 1000） 50 Hz 0.7118 mm
铁（μr = 1000） 1 MHz 0.0050 mm
铁（μr = 1000） 1 GHz 0.0002 mm
铜在 50 Hz 的 δ = 9.346 mm（比家用线径还粗，电流走整个截面）；
到 1 MHz 只剩 66.1 μm，1 GHz 只剩 2.09 μm —— 频率越高，电流越挤在表面上走。
这就是高频导线要镀银、微波用波导而不是实心铜管的原因。
=== 3. 波阻抗、反射与驻波：匹配到底在匹配什么 ===
介质 相对介电常数 εr 波阻抗 η 相速 v v/c
真空 / 空气 1.00 376.73 Ω 2.998e+08 m/s 1.0000
聚乙烯 2.25 251.15 Ω 1.999e+08 m/s 0.6667
FR-4 板材 4.40 179.60 Ω 1.429e+08 m/s 0.4767
玻璃 6.00 153.80 Ω 1.224e+08 m/s 0.4082
水 80.00 42.12 Ω 3.352e+07 m/s 0.1118
负载 ZL（Z0 = 50 Ω） 反射系数 Γ 驻波比 SWR 回波损耗 −20lg|Γ| 反射功率占比
0 Ω -1.0000 inf 0.00 dB 100.00%
25 Ω -0.3333 2.0000 9.54 dB 11.11%
50 Ω +0.0000 1.0000 inf 0.00%
75 Ω +0.2000 1.5000 13.98 dB 4.00%
100 Ω +0.3333 2.0000 9.54 dB 11.11%
开路 +1.0000 inf 0.00 dB 100.00%
Γ = (ZL − Z0)/(ZL + Z0) 是这一节唯一的公式：ZL = Z0 时 Γ = 0、SWR = 1，能量全进负载；
ZL = 75 Ω 时 Γ = 0.2，看着不大，但 SWR 已经到 1.50，回波损耗 13.98 dB。
λ/4 变换器：把 100 Ω 负载配到 50 Ω 线，只需一段 Z0' = sqrt(50×100) = 70.71 Ω 的线。
=== 4. 平面波的功率：E 与 H 差一个 377 Ω ===
电场强度 E 磁场强度 H = E/η0 功率密度 S = E·H 折成 dBm/m^2
0.001 V/m 2.6544e-06 A/m 2.6544e-09 W/m^2 -55.76 dBm/m^2
0.010 V/m 2.6544e-05 A/m 2.6544e-07 W/m^2 -35.76 dBm/m^2
0.100 V/m 2.6544e-04 A/m 2.6544e-05 W/m^2 -15.76 dBm/m^2
1.000 V/m 2.6544e-03 A/m 2.6544e-03 W/m^2 4.24 dBm/m^2
10.000 V/m 2.6544e-02 A/m 2.6544e-01 W/m^2 24.24 dBm/m^2
自由空间里 E 和 H 永远是同相、垂直、比值固定 376.73 Ω —— 这是平面波最重要的一个性质。
E = 1 V/m 对应 S = 2.65 mW/m^2，看着很小，但它已经是手机基站附近的典型量级。
=== 5. 链路预算：Friis 公式把发射、天线、距离串起来 ===
频率 波长 d = 1 m d = 10 m d = 100 m d = 1000 m
9e+08 Hz 0.3331 m 31.53 51.53 71.53 91.53
2.4e+09 Hz 0.1249 m 40.05 60.05 80.05 100.05
5e+09 Hz 0.0600 m 46.43 66.43 86.43 106.43
距离 自由空间损耗 接收功率 Pr 折成 mW（Pt = 20 dBm, Gt = Gr = 2 dBi）
1 m 40.05 dB -16.05 dBm 0.0248199 mW
10 m 60.05 dB -36.05 dBm 0.000248199 mW
100 m 80.05 dB -56.05 dBm 2.48199e-06 mW
1000 m 100.05 dB -76.05 dBm 2.48199e-08 mW
自由空间损耗每扩大 10 倍距离就多 20 dB —— 这是所有无线链路预算的起点。
2.4 GHz、1 km 时收到 -76.05 dBm，已经接近常见接收机的灵敏度下限（约 -90 到 -100 dBm）。四条结论：
- 50 Hz 与 2.4 GHz 的 λ 差了 48000 倍：
5995.8 km对124.9 mm。所以"要不要当波看"完全取决于频率与尺寸的比，不存在"电磁场只在射频里用得上"这回事。 - 趋肤深度按
1/sqrt(f)缩小：铜从 50 Hz 的 9.3459 mm 掉到 1 GHz 的 2.09 μm，跨了三个数量级。高频损耗、利兹线、波导这三件事都源自这一行。 - 介质里的一切都按
1/sqrt(εr)缩放：FR-4 的v/c = 0.4767、η = 179.60 Ω、波长变成空气中的 47.67%。PCB 时序必须按这个算。 Γ = 75 Ω 接 50 Ω只有 0.2，但已经是 4.00% 的反射功率、13.98 dB 回波损耗、1.50 的驻波比；而 λ/4 变换器只要一段 70.71 Ω 的线就能把它配平。
考点
考点
1. 麦克斯韦方程组与位移电流
- 四条：电荷生电、无磁荷、变磁生电、电流与变电生磁。
∇·B = 0：没有磁单极子；∂D/∂t（位移电流）：电磁波能自持传播的唯一原因。
2. 波动方程与平面波（必背）
v = 1/sqrt(με)；真空c = 1/sqrt(ε0μ0) = 299792458 m/s。- 平面波三垂直：
E ⊥ H ⊥ k，E × H指向传播方向；E与H同相。 η = E/H = 376.73 Ω（真空）；介质里v = c/sqrt(εrμr)、η = η0/sqrt(εrμr)、λ = λ0/sqrt(εrμr)。
3. 波长与集总判据
λ = v/f；l > λ/10就不能用集总模型。- 典型值：50 Hz → 6000 km；2.4 GHz → 124.9 mm；5 GHz → 60 mm。
4. 趋肤深度（高频考点）
δ = 1/sqrt(π f μ σ)，按1/sqrt(f)缩小。
- 铜：50 Hz → 9.3459 mm；1 MHz → 0.0661 mm；1 GHz → 0.0021 mm。
- 推论：高频电阻按
sqrt(f)上升、导体可以用空心管（波导）、铁磁材料（μr大）的δ反而更小。
5. 反射、驻波与匹配
Γ = (η2 − η1)/(η2 + η1)；ZL = Z0时Γ = 0、SWR = 1。SWR = (1+∣Γ∣)/(1−∣Γ∣)；回波损耗= −20lg∣Γ∣；反射功率占比= ∣Γ∣²。ZL = 75 Ω、Z0 = 50 Ω→Γ = 0.2、SWR = 1.50、回波损耗 13.98 dB、反射 4%。- λ/4 变换器
Z_in = Z0'²/ZL；100 Ω 配到 50 Ω 需Z0' = 70.71 Ω。
6. 平面波功率与 Friis
S = E·H = E²/η0（W/m²）；E = 1 V/m→2.65 mW/m²。Pr = Pt·Gt·Gr·(λ/4πd)²；FSPL = 20lg(4πd/λ)，每十倍距离 +20 dB。- 2.4 GHz、
Pt = 20 dBm、Gt = Gr = 2 dBi：1 m → −16.05 dBm，1 km → −76.05 dBm。
7. 易错点清单
- 把
η0 = 377 Ω用到介质里：介质里要除以sqrt(εr)。 - 用光速算 PCB 走线延时：FR-4 里只有
0.4767c。 - 把
Γ的符号当损耗：符号只表示相位关系，损耗只看∣Γ∣。 - 忘记"每十倍距离 20 dB"只适用于远场自由空间：近场（
d < λ/2π）和有多径时都不成立。 - 以为频率越高损耗总是越大：FSPL 确实随
f增大，但天线增益与孔径也随f变化——实际链路要整体算。 - 认为趋肤深度与频率无关：它按
1/sqrt(f)，这是高频电阻的来源。
小结
- 麦克斯韦方程组把电与磁统一，并预言了电磁波；位移电流
∂D/∂t是波能存在的唯一原因，∇·B = 0是唯一的不对称处。 - 平面波三垂直、E 与 H 同相、比值是波阻抗：真空
376.73 Ω，介质里按1/sqrt(εr)缩放。 v = c/sqrt(εrμr)：FR-4 里只有0.4767c——这一条决定了所有高速数字设计的时序。- 判据
l > λ/10决定要不要用分布参数：50 Hz 的 6000 km 与 2.4 GHz 的 124.9 mm 是同一个公式的两种极端。 - 趋肤深度
δ = 1/sqrt(πfμσ)：铜从 9.3459 mm（50 Hz）到 2.09 μm（1 GHz），高频损耗、利兹线、波导全从这里来。 - 反射与匹配用一个
Γ就能全部描述：Γ = 0.2时 SWR 1.50、回波损耗 13.98 dB、反射功率 4.00%，而 λ/4 变换器只要一段 70.71 Ω 的线就能配平。 - Friis 公式给出链路预算的起点：
FSPL = 20lg(4πd/λ)，每十倍距离 +20 dB；2.4 GHz 从 1 m 的 −16.05 dBm 到 1 km 的 −76.05 dBm。
回到分支：到这里，"这些信号在什么介质里传播"这件事已经说清——上一章的采样与量化决定了数字域能有多少信息，这一章决定了这些信息在路上会衰减多少。而工程上真正要交付的不是公式，是一组指标：S 参数、驻波比、噪声系数、灵敏度、IIP3——把这些串起来就是下一章的全部内容。
与主线的交汇仍然在物理层：计算机网络 的传输介质、信道容量与误码率，都是本章公式的工程化版本。前置数学仍是 复变函数与积分变换。
这一章回答的是"波在空间与介质里怎么走"；下一章问的是"在 300 MHz 到 300 GHz 这一段，怎么把它做成能拿到货架上的电路与指标"。
下一篇：微波与射频基础（进阶）
评论（0）
当前浏览器不允许本地存储，评论无法保存。
还没有评论，来说两句。