Z 变换与离散系统

概念

前面三章都活在连续世界里。但计算机处理的是采样后的序列——一串离散的数。离散世界需要自己的"拉普拉斯变换"，它就是 Z 变换。

两者的关系只差一个换元：

z = e^(sT)          T 是采样间隔
X(z) = Σ_n x[n] · z^(−n)

连续世界（拉氏）	离散世界（Z 变换）	为什么
`s = σ + jω`	`z = e^(sT)`	采样把 s 平面周期折叠到 z 平面
σ 决定衰减快慢	`∣z∣` 决定衰减快慢	`e^(σT) = ∣z∣`
稳定看左半平面	稳定看单位圆内	左半平面映到单位圆内
虚轴（σ = 0）	单位圆（`∣z∣ = 1`）	这是"不衰减也不增长"的那条线

一句话记忆：Z 变换是离散世界的拉普拉斯变换，稳定的几何判据从"左半平面"换成了"单位圆内"。

这一章还有个更实用的目的：把"滤波器"变成一个可以用几行代码写出来的差分方程——这正是数字信号处理与数字音频的起点。

原理

一、定义与收敛域

类型	定义	用途
双边	`X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x[n]z^(−n)`	理论分析
单边	`X(z) = Σ_{n=0}^{∞} x[n]z^(−n)`	工程与考研默认（因果序列）

ROC（收敛域）是一个环形区域：因果序列是 |z| > r（圆外），反因果序列是 |z| < r（圆内），双边序列可能是圆环 r₁ < |z| < r₂。

和拉氏一样：同一个 X(z) 配不同 ROC 就是不同序列——所以写答案要带 ROC。

二、常用变换对（要背）

序列 `x[n]`（n ≥ 0）	`X(z)`	ROC
`δ[n]`	`1`	全平面
`δ[n − m]`	`z^(−m)`	`∣z∣ > 0`
`u[n]`	`1/(1 − z^(−1)) = z/(z − 1)`	`∣z∣ > 1`
`a^n u[n]`	`1/(1 − a z^(−1))`	`∣z∣ > ∣a∣`
`n·a^n u[n]`	`a z^(−1)/(1 − a z^(−1))²`	`∣z∣ > ∣a∣`
`cos(ω₀n)u[n]`	`(1 − z^(−1)cosω₀)/(1 − 2z^(−1)cosω₀ + z^(−2))`	`∣z∣ > 1`
`sin(ω₀n)u[n]`	`z^(−1)sinω₀/(1 − 2z^(−1)cosω₀ + z^(−2))`	`∣z∣ > 1`

最重要的一行是 a^n u[n] ↔ 1/(1 − a z^(−1))：它的极点就在 z = a——于是"极点位置"和"序列的衰减率"直接对应起来了：

`a` 的值	极点	序列 `a^n` 的行为
`0 < a < 1`	单位圆内正实轴	单调衰减
`−1 < a < 0`	单位圆内负实轴	正负交替、衰减
`a = 1`	`z = 1`（单位圆上）	恒为 1，不衰减
`a = −1`	`z = −1`（单位圆上）	±1 交替振荡
`a > 1`	单位圆外	发散

这一张表就是"稳定性"的几何版：极点的模长就是每一步的缩放倍数。

三、和 DTFT、DFT 的关系

变换	在哪取值	结果
Z 变换	整个 z 平面	复函数 X(z)
DTFT	单位圆 `z = e^(jω)`	连续周期谱（周期 2π）
DFT	单位圆上均取 N 点	N 条离散谱线
FFT	同 DFT	只是算法更快（O(N log N)）

一条线贯通：

拉氏 X(s) ──σ=0──▶ 傅里叶 X(jω)
   │z = e^(sT)                    │z = e^(jω)
   ▼                              ▼
 Z 变换 X(z) ──单位圆──▶ DTFT X(e^jω) ──均匀取样──▶ DFT

注意离散谱是周期的：X(e^jω) 以 2π 为周期——这正是"采样导致频谱周期延拓"在变换域的样子。

四、差分方程与系统函数

离散系统的输入输出关系是差分方程，取 Z 变换（用移位性质：

时域	z 域
`x[n − k]`	`z^(−k)·X(z)`（零初始条件下）
卷积 `x * h`	`X(z)·H(z)`

）就得到系统函数：

y[n] = a·y[n−1] + x[n]   ⇔   H(z) = Y(z)/X(z) = 1/(1 − a z^(−1))

这就是"IIR 滤波器"的样子：输出又回到输入里（反馈），所以 H(z) 的分母不为 1。若分子是 Σ b_k z^(−k)、分母是 1 − Σ a_k z^(−k)，则：

分母的根 = 极点 → 决定稳定性
分子的根 = 零点 → 决定频率响应的凹陷

五、稳定判据与逆 Z 变换

稳定判据（因果系统）：

全部极点落在单位圆内（|z| < 1）⇔ 稳定；单位圆上（|z| = 1）是临界；圆外则发散。

这和连续域的"左半平面"完全对应。

逆 Z 变换三条路：

方法	做法	适用
部分分式 + 查表	拆成 `A/(1 − a z^(−1))` 这类项再反查	最常用
幂级数（长除法）	把 X(z) 展成 z^(−n) 的级数，系数就是序列	只要前几项
留数法	沿闭合路径积分求留数	理论题

部分分式的系数求法：与拉氏完全一样，用"乘上因子后取极限"。

六、频率响应：把 z 放到单位圆上

H(e^jω) = H(z)|_{z = e^jω} 就是频率响应——它说"每个频率被放大或衰减多少"。

以 H(z) = 1/(1 − 0.5z^(−1)) 为例：

ω	`∣H(e^jω)∣`	增益 (dB)	相位 (rad)
0（直流）	2.000000	6.0206	0.000000
0.25π	1.357197	2.6529	−0.500474
0.5π	0.894427	−0.9691	−0.463648
0.75π	0.714813	−2.9161	−0.255495
π（最高频）	0.666667	−3.5218	−0.000000

直流被放大 2 倍、最高频被压到 2/3——这是一个低通滤波器。

−3 dB 点（增益降到 1/√2 的地方）可以解出来：|1 − 0.5e^(−jω)| = √2 ⇒ ω = arccos(0.75) = 0.7227 rad。若采样率是 8 kHz，这个角频率对应 920.21 Hz——这就是这个滤波器的"截止频率"。

七、写出来就是个循环：Direct Form

上面的 H(z) 对应一条极简单的差分方程：

y = 0.5 * y + x;        /* 一步就是一拍 */

"滤波器"在代码里就是一个循环里的一行——这是整门课最实用的一句话。DSP 里的 IIR/FIR 结构（Direct Form I/II、级联、并联）不过是把这一行按零极点排布重新组织（见数字信号处理）。

示例

例 1：同一套差分方程，两条路径给出同一个数（C）

一个一阶 IIR 低通 y[n] = 0.5y[n−1] + x[n]，输入一个周期方波。路径一按差分方程递推，路径二按"与冲激响应卷积"。

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int x[16];
    double y = 0.0;

    for (int n = 0; n < 16; n++) x[n] = ((n % 8) < 4) ? 1 : 0;

    printf("%-4s %-4s %-12s %-12s\n", "n", "x[]", "iterate", "convolve");
    for (int n = 0; n < 16; n++) {
        y = 0.5 * y + x[n];                 /* 路径一：差分方程 */
        double s = 0.0;                     /* 路径二：与 h[k] = 0.5^k 卷积 */
        for (int k = 0; k <= n; k++) {
            double hk = 1.0;
            for (int i = 0; i < k; i++) hk *= 0.5;
            s += hk * x[n - k];
        }
        printf("%-4d %-4d %-12.6f %-12.6f\n", n, x[n], y, s);
    }
    printf("two paths agree -> the difference equation and h[n] describe the same filter\n");
    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

n    x[]  iterate      convolve
0    1    1.000000     1.000000
1    1    1.500000     1.500000
2    1    1.750000     1.750000
3    1    1.875000     1.875000
4    0    0.937500     0.937500
5    0    0.468750     0.468750
6    0    0.234375     0.234375
7    0    0.117188     0.117188
8    1    1.058594     1.058594
9    1    1.529297     1.529297
10   1    1.764648     1.764648
11   1    1.882324     1.882324
12   0    0.941162     0.941162
13   0    0.470581     0.470581
14   0    0.235291     0.235291
15   0    0.117645     0.117645
two paths agree -> the difference equation and h[n] describe the same filter

读数：两列逐行完全相同——"差分方程"和"冲激响应"是同一个滤波器的两种说法（这正是 H(z) = 1/(1 − 0.5z^(−1)) 的含义）。

还能看出低通的效果：输入是"4 个 1、4 个 0"的方波，输出爬不上去也降不下来——峰值只到 1.88、谷值只降到 0.12，高频的跳变被削平了。

例 2：冲激、阶跃、极点、频率响应、逆 Z 一次验完（Python）

C 段验证了"两条路径等价"。这里把 Z 变换的六件事补齐：冲激与阶跃响应、极点位置的三种命运、频率响应与 −3 dB 点、逆 Z 的两条路径、以及 s 平面到 z 平面的映射。

import math
import cmath


def pad(s, w):
    dw = sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(s))
    return str(s) + " " * max(0, w - dw)


def table(head, rows, gap=2):
    data = [[str(c) for c in r] for r in rows]
    w = [max([sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(head[i]))]
             + [sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in r[i]) for r in data]) + gap
         for i in range(len(head))]
    print("  " + "".join(pad(head[i], w[i]) for i in range(len(head))))
    for r in data:
        print("  " + "".join(pad(r[i], w[i]) for i in range(len(head))))


print("=== 1. 一阶系统 y[n] = a·y[n-1] + x[n]：两个输入两种答案 ===")
a = 0.5
h = [a ** n for n in range(8)]
rows = [["输入 x[n] = δ[n]", "h[n] = 0.5^n", " ".join("%.4f" % v for v in h),
         "前 8 项和 %.4f（无穷和为 2）" % sum(h)]]
y = [0.0] * 8
for n in range(8):
    y[n] = a * (y[n - 1] if n else 0.0) + 1.0          # 输入换成单位阶跃
rows.append(["输入 x[n] = u[n]", "y[n] = 2 - 0.5^n", " ".join("%.4f" % v for v in y),
             "第 8 项 %.4f（趋于 2）" % y[-1]])
table(["输入", "闭式解", "前 8 项", "极限"], rows)
print("  同一套差分方程：冲激输入得到 h[n] = 0.5^n，阶跃输入得到 2 - 0.5^n。")
print("  两者都收敛到有限值，因为极点 |z| = 0.5 < 1 —— 这就是离散系统的稳定判据。")
print()

print("=== 2. 极点位置决定命运：|a| 是否小于 1 ===")
rows = []
for aa in (0.5, -0.8, 1.0, 1.2):
    seq = [aa ** n for n in range(8)]
    if abs(aa) < 1:
        kind = "收敛 → 稳定"
    elif abs(aa) == 1:
        kind = "不衰减也不增长 → 临界（不稳定）"
    else:
        kind = "发散 → 不稳定"
    rows.append(["a = %+.1f" % aa, "%+.4f" % aa, " ".join("%+.3f" % v for v in seq[:6]), kind])
table(["系数", "极点 z=a", "h[n] 前 6 项", "结论"], rows)
print("  a = -0.8 时序列正负交替但在衰减；a = 1.2 时前 6 项已经涨到 2.488（第 7 项 2.986），别被'头几项还小'骗了。")
print("  Z 域的稳定判据只有一句：全部极点落在单位圆内（|z| < 1）。")
print()

print("=== 3. 频率响应 |H(e^jω)|：数字低通长什么样 ===")
rows = []
for w_frac in (0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0):
    w = math.pi * w_frac
    H = 1.0 / (1 - a * cmath.exp(-1j * w))
    rows.append(["%.2fπ（%.4f rad）" % (w_frac, w), "%.6f" % abs(H),
                 "%.4f" % (20 * math.log10(abs(H))), "%.6f" % cmath.phase(H)])
table(["ω", "|H(e^jω)|", "增益 (dB)", "相位 (rad)"], rows)
w3 = math.acos(0.75)
table(["派生量", "值"],
      [["ω = 0（直流）增益", "2.000000（= 1/(1-0.5)）"],
       ["ω = π（最高频）增益", "%.6f（= 1/1.5）" % abs(1.0 / (1 + a))],
       ["-3 dB 点 ω = arccos(0.75)", "%.6f rad" % w3],
       ["折成采样率 fs = 8 kHz", "%.2f Hz" % (w3 / (2 * math.pi) * 8000)]])
print("  直流增益 2、最高频增益 0.6667 —— 低频放、高频压，一阶低通的教科书形状。")
print("  -3 dB 点在 ω = arccos(0.75) = %.4f rad，换算到 8 kHz 采样率就是 %.1f Hz。"
      % (w3, w3 / (2 * math.pi) * 8000))
print()

print("=== 4. 二阶系统的逆 Z：部分分式拆开再反变换 ===")
print("  H(z) = 1/((1 - 0.5z^-1)(1 - 0.25z^-1)) = 2/(1 - 0.5z^-1) - 1/(1 - 0.25z^-1)")
print("  反变换：h[n] = 2·0.5^n - 0.25^n")
direct = []
for n in range(6):
    if n == 0:
        direct.append(1.0)
    elif n == 1:
        direct.append(0.75 * direct[0])
    else:
        direct.append(0.75 * direct[n - 1] - 0.125 * direct[n - 2])
rows = []
for n in range(6):
    rows.append(["n=%d" % n, "%.6f" % (2 * 0.5 ** n - 0.25 ** n),
                 "%.6f" % direct[n]])
table(["项", "闭式 2·0.5^n - 0.25^n", "差分方程逐项迭代"], rows)
print("  两条路径给出同一列数：闭式来自部分分式（解析），迭代来自差分方程（数值）。")
print("  两个极点 z = 0.5 与 0.25 都在单位圆内 → 稳定；极点在单位圆内的不同半径决定衰减快慢。")
print()

print("=== 5. s 平面 ↔ z 平面：一次映射把两门课连起来 ===")
rows = [["s 平面（连续）", "z = e^(sT)（离散）", "含义"],
        ["虚轴 σ = 0", "单位圆 |z| = 1", "稳定与不稳定的分界"],
        ["左半平面 σ < 0", "单位圆内 |z| < 1", "稳定（衰减）"],
        ["右半平面 σ > 0", "单位圆外 |z| > 1", "不稳定（发散）"],
        ["s = jπ/T", "z = -1", "奈奎斯特频率（最高可表示频率）"]]
table(rows[0], rows[1:])
print("  所以'Z 变换是离散世界的拉普拉斯变换'：把 s = jω 再代进去，就得到 DTFT，而它只是 Z 变换在单位圆上的取值。")
print("  一条线：拉氏（连续、全平面）→ 取 σ=0 → 傅里叶；拉氏 → z = e^(sT) → Z 变换 → 取 z = e^(jω) → DTFT。")

python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

=== 1. 一阶系统 y[n] = a·y[n-1] + x[n]：两个输入两种答案 ===
  输入              闭式解            前 8 项                                                  极限
  输入 x[n] = δ[n]  h[n] = 0.5^n      1.0000 0.5000 0.2500 0.1250 0.0625 0.0312 0.0156 0.0078  前 8 项和 1.9922（无穷和为 2）
  输入 x[n] = u[n]  y[n] = 2 - 0.5^n  1.0000 1.5000 1.7500 1.8750 1.9375 1.9688 1.9844 1.9922  第 8 项 1.9922（趋于 2）
  同一套差分方程：冲激输入得到 h[n] = 0.5^n，阶跃输入得到 2 - 0.5^n。
  两者都收敛到有限值，因为极点 |z| = 0.5 < 1 —— 这就是离散系统的稳定判据。

=== 2. 极点位置决定命运：|a| 是否小于 1 ===
  系数      极点 z=a  h[n] 前 6 项                               结论
  a = +0.5  +0.5000   +1.000 +0.500 +0.250 +0.125 +0.062 +0.031  收敛 → 稳定
  a = -0.8  -0.8000   +1.000 -0.800 +0.640 -0.512 +0.410 -0.328  收敛 → 稳定
  a = +1.0  +1.0000   +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 +1.000 +1.000  不衰减也不增长 → 临界（不稳定）
  a = +1.2  +1.2000   +1.000 +1.200 +1.440 +1.728 +2.074 +2.488  发散 → 不稳定
  a = -0.8 时序列正负交替但在衰减；a = 1.2 时前 6 项已经涨到 2.488（第 7 项 2.986），别被'头几项还小'骗了。
  Z 域的稳定判据只有一句：全部极点落在单位圆内（|z| < 1）。

=== 3. 频率响应 |H(e^jω)|：数字低通长什么样 ===
  ω                    |H(e^jω)|  增益 (dB)  相位 (rad)
  0.00π（0.0000 rad）  2.000000   6.0206     0.000000
  0.25π（0.7854 rad）  1.357197   2.6529     -0.500474
  0.50π（1.5708 rad）  0.894427   -0.9691    -0.463648
  0.75π（2.3562 rad）  0.714813   -2.9161    -0.255495
  1.00π（3.1416 rad）  0.666667   -3.5218    -0.000000
  派生量                     值
  ω = 0（直流）增益          2.000000（= 1/(1-0.5)）
  ω = π（最高频）增益        0.666667（= 1/1.5）
  -3 dB 点 ω = arccos(0.75)  0.722734 rad
  折成采样率 fs = 8 kHz      920.21 Hz
  直流增益 2、最高频增益 0.6667 —— 低频放、高频压，一阶低通的教科书形状。
  -3 dB 点在 ω = arccos(0.75) = 0.7227 rad，换算到 8 kHz 采样率就是 920.2 Hz。

=== 4. 二阶系统的逆 Z：部分分式拆开再反变换 ===
  H(z) = 1/((1 - 0.5z^-1)(1 - 0.25z^-1)) = 2/(1 - 0.5z^-1) - 1/(1 - 0.25z^-1)
  反变换：h[n] = 2·0.5^n - 0.25^n
  项   闭式 2·0.5^n - 0.25^n  差分方程逐项迭代
  n=0  1.000000               1.000000
  n=1  0.750000               0.750000
  n=2  0.437500               0.437500
  n=3  0.234375               0.234375
  n=4  0.121094               0.121094
  n=5  0.061523               0.061523
  两条路径给出同一列数：闭式来自部分分式（解析），迭代来自差分方程（数值）。
  两个极点 z = 0.5 与 0.25 都在单位圆内 → 稳定；极点在单位圆内的不同半径决定衰减快慢。

=== 5. s 平面 ↔ z 平面：一次映射把两门课连起来 ===
  s 平面（连续）  z = e^(sT)（离散）  含义
  虚轴 σ = 0      单位圆 |z| = 1      稳定与不稳定的分界
  左半平面 σ < 0  单位圆内 |z| < 1    稳定（衰减）
  右半平面 σ > 0  单位圆外 |z| > 1    不稳定（发散）
  s = jπ/T        z = -1              奈奎斯特频率（最高可表示频率）
  所以'Z 变换是离散世界的拉普拉斯变换'：把 s = jω 再代进去，就得到 DTFT，而它只是 Z 变换在单位圆上的取值。
  一条线：拉氏（连续、全平面）→ 取 σ=0 → 傅里叶；拉氏 → z = e^(sT) → Z 变换 → 取 z = e^(jω) → DTFT。

四条结论：

同一个差分方程换输入就换答案：冲激给 0.5^n（前 8 项和 1.9922、无穷和 2），阶跃给 2 − 0.5^n。"系统"这个角色由差分方程（也就是 H(z)）扮演。
极点位置的三分法很干净：|a| < 1 收敛、= 1 临界、> 1 发散。a = 1.2 时第 7 项就到 2.986——绝不能只看前几项判断稳定性。
一阶低通的两个端点和截止点都能手算：直流增益 2、最高频 2/3、−3 dB 在 ω = arccos(0.75)，折成 8 kHz 采样率是 920.21 Hz。
逆 Z 的两条路径一致：部分分式给闭式 2·0.5^n − 0.25^n，差分方程迭代也给同一列数。两个极点都在单位圆内，所以两条路径都收敛。

考点

1. 定义与收敛域

X(z) = Σ x[n]z^(−n)；单边是 n ≥ 0。
ROC 是环形：因果 |z| > r；同一个 X(z) 配不同 ROC 就是不同序列。

2. 常用变换对

x[n]	X(z)
δ[n]	1
u[n]	z/(z−1)
aⁿu[n]	1/(1 − az^(−1))
naⁿu[n]	az^(−1)/(1 − az^(−1))²

3. Z 变换、DTFT、DFT 的关系（高频）

DTFT 是 Z 变换在单位圆上的取值：z = e^(jω)。
DFT 是单位圆上均匀取 N 点；FFT 只是算法上的加速。
X(e^jω) 以 2π 为周期——对应"采样导致频谱周期延拓"。

4. 差分方程与系统函数

移位性质：x[n − k] ⇔ z^(−k)X(z)（零初始条件）。
H(z) = Y(z)/X(z)；卷积 ⇔ 相乘。
分母的根是极点（定稳定），分子的根是零点（定凹陷）。

5. 稳定性判据

因果系统稳定 ⇔ 全部极点位于单位圆内（|z| < 1）。

对应关系：左半平面 ↔ 单位圆内；虚轴 ↔ 单位圆。单位圆上 = 临界振荡（如 a = 1 或 a = −1）。

6. 频率响应与截止频率

H(e^jω) = H(z)|_{z=e^jω}，以 2π 为周期（所以只看 ω ∈ [0, π] 就够）。
一阶低通 1/(1 − az^(−1))：直流增益 1/(1−a)、最高频增益 1/(1+a)。
−3 dB 点解方程 |1 − ae^(−jω)| = √2·(1−a) 之类的式子，再乘 fs/(2π) 换成 Hz。

7. 逆 Z 变换

部分分式 + 查表最常用；重极点要拆成 A/(1−az^(−1)) + B/(1−az^(−1))²。
长除法只适合"要前几项"。
反变换的结果取决于 ROC（同一个 H(z) 可能是因果衰减，也可能是反因果发散）。

8. 易错点清单

把稳定判据写成"极点在左半平面"：那是连续域的；离散域看单位圆。
忘记 ROC：答案不唯一。
把 z^(−1) 和 s 当作同类：z^(−1) 代表一个采样周期的延迟。
频率响应里把 ω 当普通频率：ω 是归一化角频率，f = ω·fs/(2π)。
只看前几项判断发散：a = 1.2 时前几项还很小。
把 DFT 的谱线当连续谱：它只在 N 个频率点上取值。
把 H(z) 用于非零初始条件的差分方程：移位性质里会多出初始值项（与拉氏的 −y(0) 同理）。

小结

Z 变换是离散世界的拉普拉斯变换：z = e^(sT)，把连续域的左半平面折成离散域的单位圆内。
稳定判据从"左半平面"换成"单位圆内"：|z| < 1 稳定，= 1 临界，> 1 发散——极点的模长就是每一步的缩放倍数。
Z 变换 → 单位圆 → DTFT → 均匀取样 → DFT：一条线把五个变换串起来。
差分方程、系统函数 H(z)、冲激响应 h[n] 是同一个东西的三种写法（示例里两条路径给出同一列数）。
频率响应就是"把 z 放到单位圆上"：直流增益 1/(1−a)、最高频增益 1/(1+a)、−3 dB 点可以解方程算出来。
一个数字滤波器在代码里是一行：y = 0.5*y + x。

回到分支：这四章是一条完整的链——信号与系统讲"卷积描述系统"、傅里叶变换讲"信号由哪些频率组成"、拉普拉斯变换把两者合到 s 域并给出稳定性判据，这一章把 s 换成 z、让整套逻辑在采样系统里重新成立。

这就是数字信号处理的全部预备知识：有了 H(z)，就可以设计滤波器（滤波器设计基础）、做频谱分析（数字信号处理）、写音频与图像的算法（数字音频、数字图像处理）。前置数学仍是复变函数与积分变换。

这一章回答的是"离散系统怎么描述自己"，下一章问的是"离散信号里到底藏了哪些频率，以及怎么算得足够快"。

下一篇：数字信号处理（DSP）

Z 变换与离散系统

概念

原理

一、定义与收敛域

二、常用变换对（要背）

三、和 DTFT、DFT 的关系

四、差分方程与系统函数

五、稳定判据与逆 Z 变换

六、频率响应：把 z 放到单位圆上

七、写出来就是个循环：Direct Form

示例

例 1：同一套差分方程，两条路径给出同一个数（C）

例 2：冲激、阶跃、极点、频率响应、逆 Z 一次验完（Python）

考点

小结

我的笔记

评论（0）

Z 变换与离散系统 ​

概念 ​

原理 ​

一、定义与收敛域 ​

二、常用变换对（要背） ​

三、和 DTFT、DFT 的关系 ​

四、差分方程与系统函数 ​

五、稳定判据与逆 Z 变换 ​

六、频率响应：把 z 放到单位圆上 ​

七、写出来就是个循环：Direct Form ​

示例 ​

例 1：同一套差分方程，两条路径给出同一个数（C） ​

例 2：冲激、阶跃、极点、频率响应、逆 Z 一次验完（Python） ​

考点 ​

小结 ​

我的笔记

评论（0）

Z 变换与离散系统

概念

原理

一、定义与收敛域

二、常用变换对（要背）

三、和 DTFT、DFT 的关系

四、差分方程与系统函数

五、稳定判据与逆 Z 变换

六、频率响应：把 z 放到单位圆上

七、写出来就是个循环：Direct Form

示例

例 1：同一套差分方程，两条路径给出同一个数（C）

例 2：冲激、阶跃、极点、频率响应、逆 Z 一次验完（Python）

考点

小结