微波与射频基础（进阶）

概念

射频（RF）不是"某个频段"，而是"一种失效边界"：当电路尺寸与波长可比，集总元件（电阻、电容、电感）的模型就不再成立，导线必须当成"阻抗"，连接必须当成"波"。

一句话定义：射频就是"必须用传输线和波的语言来描述电路"的那一段频率。 工程上大致覆盖 300 MHz 到 300 GHz（波长 1 m 到 1 mm），微波通常指 300 MHz ~ 300 GHz 的上半段。

它换了三样东西：

换了什么	原来（低频）	现在（射频）
描述电路的量	电压、电流	波：入射波与反射波
网络参数	Z 参数、Y 参数	S 参数（散射参数）
关注的核心指标	增益、带宽	匹配、噪声、线性度

为什么这三件事会成为核心：信号小（接收端电平常低到 −100 dBm 量级，也就是 10⁻¹³ W），所以噪声决定能不能收到；波长小，所以反射决定能不能送出去；而发射端功率有限，所以非线性决定能不能不失真地送出去。整章就围绕这三件事展开。

与上一章的衔接：电磁场与电磁波 给的是波在空间与介质里怎么走，这一章把这些公式变成能拿到货架上的电路指标。

原理

一、集总还是分布：判据是 l 与 λ 的比

判据：走线长度 l > λ/10 就必须按传输线（分布参数）处理。

频率	波长 λ	临界长度 λ/10	3 cm 走线相当于 l/λ
100 MHz	2998 mm	299.8 mm	0.01001
1 GHz	299.8 mm	29.98 mm	0.1001
2.4 GHz	124.9 mm	12.49 mm	0.2402
5 GHz	59.96 mm	5.996 mm	0.5003
10 GHz	29.98 mm	2.998 mm	1.001

1 GHz 是个分水岭：临界长度正好 3 cm。换言之，从 1 GHz 起，"随便画一条走线"这件事就不存在了——PCB 上任意一条 3 cm 的连线都已经是 λ/10，必须当作一段传输线来设计。

这就是"射频板"和"低速板"的根本区别：不是元器件不同，而是同一根铜线在两个世界里是两种东西。

二、传输线：只有两个参数

一段均匀传输线由两个分布参数描述（每单位长度的 L 与 C）：

Z0 = sqrt(L / C)          特性阻抗
v  = 1 / sqrt(L·C)        相速

两者一联立就得到工程上要用的电感与电容：

L = Z0 / v          C = 1 / (Z0·v)

以「50 Ω、介质为 FR-4（εeff = 3.3）」为例：

传输线	εr	相速 v	单位延时	单位电感 L	单位电容 C
空气线 / 同轴	1.0	2.9979e+08 m/s	3.3356 ns/m	166.8 nH/m	66.7 pF/m
FR-4 微带	3.3	1.6503e+08 m/s	6.0595 ns/m	303.0 nH/m	121.2 pF/m
陶瓷基板	9.8	9.5765e+07 m/s	10.4422 ns/m	522.1 nH/m	208.8 pF/m

两个工程推论：

• Z0 只由 L/C 决定，所以"控制阻抗"实际是在控制线宽与介质厚度（L 与 C 同时变，比值要维持 50 Ω）；
• 相速只由 LC 乘积决定，所以加宽线只会降低 L、升高 C，相速基本不变——50 Ω 微带在 FR-4 上的延时约 6.06 ns/m，3 cm 就是 181.8 ps，在 2.4 GHz 里等于 157.1°的相位。

最后这句话是射频布线的全部难处：157.1° 不是"一点点延迟"，而是接近半个周期——走线长度直接就是相位，而相位决定了阻抗变换、耦合和抵消。 所以射频板上经常出现"绕一小段弧线来凑相位"的画法。

三、S 参数与匹配：为什么反射功率和损耗不是一回事

S 参数是射频的通用语言（在 50 Ω 系统上定义）：

参数	含义
S11	输入端的反射（匹配好不好）
S21	正向传输增益（这是"增益"）
S12	反向隔离（放大器要越小越好）
S22	输出端反射

S11 = 20·lg∣Γ∣。把 ∣Γ∣ 换算成各项指标：

∣Γ∣（= ∣S11∣）	S11	SWR	失配损耗	反射功率
0.0000	−inf	1.0000	0.0000 dB	0.00%
0.0500	−26.02 dB	1.1053	0.0109 dB	0.25%
0.1000	−20.00 dB	1.2222	0.0436 dB	1.00%
0.2000	−13.98 dB	1.5000	0.1773 dB	4.00%
0.3162	−10.00 dB	1.9248	0.4575 dB	10.00%
0.5000	−6.02 dB	3.0000	1.2494 dB	25.00%
1.0000	0.00 dB	inf	inf	100.00%

这张表最重要的一行是 ∣Γ∣ = 0.3162（S11 = −10 dB）：它意味着 10% 的功率被反射回来，但真正损失掉的失配损耗只有 0.4575 dB。

反射功率与损耗不是一回事：被反射的功率并不是全丢了，它会沿线上来回弹、最终还会部分进入负载。所以 S11 = −10 dB 的实际损失只有 0.46 dB——这就是"−10 dB 就够用"这条工程线的来历；高精度系统要求到 −20 dB（1% 反射、0.0436 dB 损耗）。

史密斯圆图是把这套换算画成一张图的工具（数值计算时代仍然必学，因为它让"加一段线/加一个电容"的连锁反应一眼可见）：

• 圆心是 Γ = 0（完全匹配）；外圈是 ∣Γ∣ = 1（全反射，对应电抗轴）；
• 等电阻圆与等电抗圆互相正交，构成一张"阻抗坐标纸"；
• 沿圆周走一圈 = 沿线移动 λ/2；沿圆周走 180° = 移动 λ/4（这就是 λ/4 变换器把 Z 变成 Z0²/Z 的几何解释）；
• 加并联电容 = 沿等电导圆顺时针移动。

匹配网络的三种常用形式：λ/4 变换器（窄带）、L 型与 Π 型（两个或三个元件，宽带）、短截线（stub）（用一段线的电抗当元件，射频板上一段"没接头的线"）。

四、噪声：接收机听得见多小的信号

热噪声功率谱密度是常数，室温（290 K）下：

kT = 1.380649e-23 × 290 = 4.0039e-21 W/Hz  →  −173.98 dBm/Hz  ≈  −174 dBm/Hz

注意它只跟温度有关，跟频率无关——这就是为什么 −174 dBm/Hz 是一个"常数"，工程师张口就来。

带宽 B	热噪声功率 kTB（290 K）	折成 dBm
1 Hz	4.0039e-21 W	−173.98 dBm
1 kHz	4.0039e-18 W	−143.98 dBm
1 MHz	4.0039e-15 W	−113.98 dBm
20 MHz	8.0078e-14 W	−100.96 dBm
100 MHz	4.0039e-13 W	−93.98 dBm

带宽每翻十倍，噪声底 +10 dB——所以"窄带接收"永远比"宽带接收"更容易收到弱信号，这是 通信原理 里 Eb/N0 那笔账的另一个侧面。

噪声系数与噪声因子是一回事的两种形式：

F = SNR_in / SNR_out        NF = 10·lg(F)   dB

为什么用"比值"而不是直接给噪声值：因为它衡量的是"这个器件把信噪比弄坏了多少"，与输入信号大小无关。理想器件 F = 1（NF = 0 dB）；实际放大器 NF = 1~3 dB 算优秀，6~9 dB 算普通。

噪声温度是另一种表述：T_e = (F − 1)·290 K。

五、级联噪声系数：为什么第一级决定一切

多级级联时，后级的噪声要按前级的增益"折算"回输入端（Friis 公式）：

F_total = F1 + (F2 − 1)/G1 + (F3 − 1)/(G1·G2) + …

读法只有一个：第一级的噪声因子原封不动加进来；第二级的噪声因子要先除以第一级的增益；第三级要除以前两级增益的乘积。

一个真实例子（LNA 1.5 dB / 15 dB，混频器 8 dB / 10 dB，中频放大器 6 dB / 20 dB）：

级	NF	增益 G	累计噪声因子 F	累计 NF
LNA	1.5 dB	15.0 dB	1.4125	1.5000 dB
混频器	8.0 dB	10.0 dB	1.5804	1.9878 dB
中频放大器	6.0 dB	20.0 dB	1.5899	2.0136 dB

整机 NF = 2.0136 dB。而如果把 LNA 拿掉、直接从混频器进：整机 NF = 8.2005 dB。

差 6.19 dB——这就是"接收机第一级几乎永远是低噪声放大器"的全部理由。前级的 15 dB 增益把后级的噪声贡献压掉了 31.6 倍，混频器那 8 dB 的 NF 最后只贡献了 0.58 dB。

所以有一条不可违反的顺序：天线 → LNA → 滤波器 → 混频器。滤波器虽然能抗干扰，但它的插损（比如 1 dB）如果在 LNA 之前，会直接加到整机 NF 上——这就是"牺牲灵敏度换抗干扰"的代价，工程上要按场景取舍。

六、接收机指标：一张表说全部

指标	含义	好坏方向
灵敏度	能可靠解调的最小输入功率	越负越好
噪声系数 NF	弄坏信噪比的程度	越小越好
选择性	抗邻道干扰的能力	越陡越好
增益	放大倍数	够用即可（大了反而不稳）
P1dB	增益压缩 1 dB 时的输入功率	越大越好
IIP3	三阶交调截点	越大越好
SFDR	无杂散动态范围	越大越好

灵敏度公式只有一行：

灵敏度 = −174 dBm/Hz + 10·lg(B) + NF + 要求的 SNR

接收机	噪声系数 NF	带宽	要求 SNR	灵敏度
普通接收机	6.0 dB	1 MHz	10 dB	−97.98 dBm
低噪接收机	2.0 dB	1 MHz	10 dB	−101.98 dBm
LTE	6.0 dB	20 MHz	12 dB	−82.97 dBm
无 LNA 前端	9.0 dB	1 MHz	10 dB	−94.98 dBm

读这张表要看清"哪一项能改"：−174 是常数、SNR 由调制方式决定（见 通信原理），唯一能自己设计的是 NF；而带宽每翻十倍就少 10 dB 灵敏度——LTE 那 20 MHz 的宽带比 1 MHz 的窄带整整差了 15 dB，代价换来的自然是速率。

P1dB 与 IIP3 的必要性：如果 LNA 在强信号下饱和（失真、增益压缩），微弱的有用信号就会被"自己的失真产物"淹没。所以射频前端既要求 NF 小（听得到弱信号），又要求 IIP3 大（不被强信号压垮）——这两个要求是矛盾的，这正是射频设计的核心难点。

七、常用频段：资源是被分配的

频段	频率范围	典型用途
LF / MF	30 kHz – 3 MHz	长波广播、NFC 载波
HF	3 – 30 MHz	短波广播、HF RFID
VHF	30 – 300 MHz	FM 广播、航空通信
UHF	300 MHz – 3 GHz	蜂窝、Wi-Fi、GPS、UHF RFID
SHF	3 – 30 GHz	Wi-Fi 5 GHz、卫星、雷达
EHF	30 – 300 GHz	毫米波 5G、成像

ISM（工业、科学、医疗）频段是"免授权"的公共资源：

频率	用途
13.56 MHz	NFC 近场通信
433 / 868 / 915 MHz	小无线、遥控、LoRa
2.4 GHz	Wi-Fi、蓝牙、ZigBee、微波炉
5.8 GHz	Wi-Fi 5 GHz 段、部分遥控
24 / 61 / 77 GHz	毫米波雷达（车载）

2.4 GHz 为什么叫"垃圾频段"：Wi-Fi、蓝牙、微波炉挤在同一段，干扰是常态——这也是"Wi-Fi 拥塞"和"5 GHz 更稳"的根本原因。频率资源是分配的，不是想用就能用，这一条比任何公式都更有工程意义。

示例

例 1：级联噪声系数与灵敏度：第一级值多少 dB（C）

用 Friis 公式算两组前端的整机噪声系数：有 LNA（LNA + 混频器 + 中频放大器）与没有 LNA（直接从混频器进），再把两者换算成接收机灵敏度。

/* 级联噪声系数与接收机灵敏度：为什么第一级放大器决定整机性能 */
#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define B_NOISE 1e6
#define SNR_REQ 10.0

static double cascade(const double *nf, const double *gain, int n)
{
    double f_tot = 1.0, g_pre = 1.0;

    printf("%-10s %-10s %-10s %-12s %-12s\n", "stage", "NF(dB)", "Gain(dB)", "F_cum", "NF_cum(dB)");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f_tot += (pow(10.0, nf[i] / 10.0) - 1.0) / g_pre;   /* Friis：(Fi-1)/前面总增益 */
        g_pre *= pow(10.0, gain[i] / 10.0);
        printf("stage%-5d %-10.1f %-10.1f %-12.4f %-12.4f\n",
               i + 1, nf[i], gain[i], f_tot, 10.0 * log10(f_tot));
    }
    return 10.0 * log10(f_tot);
}

int main(void)
{
    double nf_with[3] = {1.5, 8.0, 6.0};
    double g_with[3] = {15.0, 10.0, 20.0};
    double nf_wo[2] = {8.0, 6.0};
    double g_wo[2] = {10.0, 20.0};
    double a, b, base;

    printf("case A: LNA + mixer + IF amp\n");
    a = cascade(nf_with, g_with, 3);
    printf("cascade NF with LNA = %.4f dB\n", a);

    printf("\ncase B: mixer + IF amp (no LNA)\n");
    b = cascade(nf_wo, g_wo, 2);
    printf("cascade NF without LNA = %.4f dB\n", b);

    base = -173.98 + 10.0 * log10(B_NOISE) + SNR_REQ;
    printf("\nsensitivity (B = 1 MHz, SNR = 10 dB):\n");
    printf("  with LNA    = %.2f dBm\n", base + a);
    printf("  without LNA = %.2f dBm\n", base + b);
    printf("  difference  = %.2f dB\n", b - a);
    printf("a low-noise first stage buys back the whole receiver sensitivity.\n");

    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

预期输出：

case A: LNA + mixer + IF amp
stage      NF(dB)     Gain(dB)   F_cum        NF_cum(dB)  
stage1     1.5        15.0       1.4125       1.5000      
stage2     8.0        10.0       1.5804       1.9878      
stage3     6.0        20.0       1.5899       2.0136      
cascade NF with LNA = 2.0136 dB

case B: mixer + IF amp (no LNA)
stage      NF(dB)     Gain(dB)   F_cum        NF_cum(dB)  
stage1     8.0        10.0       6.3096       8.0000      
stage2     6.0        20.0       6.6077       8.2005      
cascade NF without LNA = 8.2005 dB

sensitivity (B = 1 MHz, SNR = 10 dB):
  with LNA    = -101.97 dBm
  without LNA = -95.78 dBm
  difference  = 6.19 dB
a low-noise first stage buys back the whole receiver sensitivity.

读数：

• 有 LNA：累计 NF 从 1.5000 dB（LNA 后）走到 2.0136 dB（整机）——混频器的 8 dB 和中频放大器的 6 dB，加起来只让整机又坏了 0.51 dB。
• 没有 LNA：整机 NF = 8.2005 dB，混频器那 8 dB 几乎原封不动地成了整机指标。
• 换算到灵敏度（1 MHz、要求 SNR 10 dB）：−101.97 dBm 对 −95.78 dBm，差 6.19 dB。
• 一句话结论：一级 LNA 值 6.19 dB 的灵敏度。 在同样的发射功率和距离下，这 6.19 dB 可以换回三倍多的通信距离（自由空间下距离按功率的平方根走，见 电磁场与电磁波）。

例 2：集总判据、传输线、匹配、噪声、灵敏度一次算完（Python）

C 段只做了级联 NF 这一条。这一段把整章的账补齐：l/λ 判据表、三种传输线的 Z0 与延时、S11 与失配损耗换算法、热噪声底与四类接收机的灵敏度、以及级联 NF 的逐步累计。

import math


def pad(s, w):
    dw = sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(s))
    return str(s) + " " * max(0, w - dw)


def table(head, rows, gap=2):
    data = [[str(c) for c in r] for r in rows]
    w = [max([sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in str(head[i]))]
             + [sum(2 if ord(c) > 0x2000 else 1 for c in r[i]) for r in data]) + gap
         for i in range(len(head))]
    print("  " + "".join(pad(head[i], w[i]) for i in range(len(head))))
    for r in data:
        print("  " + "".join(pad(r[i], w[i]) for i in range(len(head))))


C0 = 299792458.0

print("=== 1. 什么时候必须丢掉集总模型：判据是 l 与 λ 的比 ===")
rows = []
for f, label in ((100e6, "100 MHz"), (1e9, "1 GHz"), (2.4e9, "2.4 GHz"), (5e9, "5 GHz"), (10e9, "10 GHz")):
    lam = C0 / f
    rows.append([label, "%.4g mm" % (lam * 1000), "%.4g mm" % (lam * 100),
                 "%.4g" % (0.03 / lam)])
table(["频率", "波长 λ", "临界长度 λ/10", "3 cm 走线相当于 l/λ"], rows)
print("  工程判据：走线长度超过 λ/10 就必须按传输线（分布参数）处理。")
print("  1 GHz 时临界长度正好是 3 cm —— 一块普通 PCB 上随便一条走线都到了这条线，")
print("  所以射频板上的走线不能画成“导线”，要画成“阻抗”。")
print()

print("=== 2. 传输线的两个参数：Z0 与延时 ===")
rows = []
for name, er in (("空气线 / 同轴", 1.0), ("FR-4 微带（εeff）", 3.3), ("陶瓷基板", 9.8)):
    v = C0 / math.sqrt(er)
    tpd = 1.0 / v
    z0 = 50.0
    l = z0 / v
    c = 1.0 / (z0 * v)
    rows.append([name, "%.1f" % er, "%.4e m/s" % v, "%.4f ns/m" % (tpd * 1e9),
                 "%.1f nH/m" % (l * 1e9), "%.1f pF/m" % (c * 1e12)])
table(["传输线", "εr", "相速 v", "单位延时", "单位电感 L", "单位电容 C"], rows)
lam_24 = C0 / 2.4e9 / math.sqrt(3.3)
tpd_24 = math.sqrt(3.3) / C0
print("  Z0 = sqrt(L/C)、v = 1/sqrt(LC) 是传输线的两条定义式，两者相乘就得到 L、C。")
print("  FR-4 微带上 3 cm 走线的延时 = %.1f ps，在 2.4 GHz 里已经等于 %.1f°的相位（λ = %.1f mm）。"
      % (0.03 * tpd_24 * 1e12, 0.03 / lam_24 * 360, lam_24 * 1000))
print()

print("=== 3. 匹配不好会损失多少：S11、SWR 与失配损耗 ===")
rows = []
for g in (0.0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3162, 0.5, 1.0):
    if abs(g) < 1:
        swr = (1 + g) / (1 - g)
    else:
        swr = float("inf")
    s11 = 20 * math.log10(g) if g > 0 else float("-inf")
    ml = -10 * math.log10(1 - g * g) if g < 1 else float("inf")
    rows.append(["%.4f" % g, "%.2f dB" % s11 if s11 != float("-inf") else "-inf",
                 "%.4f" % swr if swr != float("inf") else "inf",
                 "%.4f dB" % max(0.0, ml) if ml != float("inf") else "inf",
                 "%.2f%%" % (g * g * 100)])
table(["|Γ|（= |S11|）", "S11", "SWR", "失配损耗", "反射功率"], rows)
print("  S11 是反射系数的 dB 形式：S11 = −10 dB 意味着 10% 的功率被反射回来、")
print("  真正造成损失的失配损耗只有 0.4576 dB —— 反射功率和损耗不是一回事。")
print("  所以“S11 优于 −10 dB”是一条够用的工程线，而高精度系统要求到 −20 dB（1% 反射）。")
print()

print("=== 4. 噪声底：接收机能听到多小的信号 ===")
kt = 1.380649e-23 * 290.0
rows = []
for b, label in ((1.0, "1 Hz"), (1e3, "1 kHz"), (1e6, "1 MHz"), (2e7, "20 MHz"), (1e8, "100 MHz")):
    n = kt * b
    rows.append([label, "%.4e W" % n, "%.2f dBm" % (10 * math.log10(n * 1000))])
table(["带宽 B", "热噪声功率 kTB（290 K）", "折成 dBm"], rows)
print("  290 K 下的噪声功率谱密度 kT = %.4e W/Hz，即 %.2f dBm/Hz —— 这就是常说的 −174 dBm/Hz。"
      % (kt, 10 * math.log10(kt * 1000)))
rows = []
for nf, snr, b, label in ((6.0, 10.0, 1e6, "普通接收机 1 MHz"),
                          (2.0, 10.0, 1e6, "低噪接收机 1 MHz"),
                          (6.0, 12.0, 2e7, "LTE 20 MHz"),
                          (9.0, 10.0, 1e6, "无 LNA 前端")):
    sens = -173.98 + 10 * math.log10(b) + nf + snr
    rows.append([label, "%.1f dB" % nf, "%.0f MHz" % (b / 1e6), "%.0f dB" % snr, "%.2f dBm" % sens])
table(["接收机", "噪声系数 NF", "带宽", "要求 SNR", "灵敏度"], rows)
print("  灵敏度公式只有一行：灵敏度 = −174 dBm/Hz + 10lg(B) + NF + 要求的 SNR。")
print("  注意 −174 已经是固定的，能改进的只有 NF（前端做得多好）和带宽（能用多窄）。")
print()

print("=== 5. 级联噪声系数：为什么第一级放大器最要紧 ===")


def cascaded(stages):
    f_tot = 1.0
    g_pre = 1.0
    for nf, gain in stages:
        f = 10 ** (nf / 10.0)
        f_tot += (f - 1.0) / g_pre
        g_pre *= 10 ** (gain / 10.0)
    return f_tot, 10 * math.log10(f_tot)


with_lna = [(1.5, 15.0), (8.0, 10.0), (6.0, 20.0)]
without = [(8.0, 10.0), (6.0, 20.0)]
rows = []
labels = ["LNA", "混频器", "中频放大器"]
f_tot, g_pre = 1.0, 1.0
for i, (nf, gain) in enumerate(with_lna):
    f_tot += (10 ** (nf / 10.0) - 1.0) / g_pre
    g_pre *= 10 ** (gain / 10.0)
    rows.append([labels[i], "%.1f dB" % nf, "%.1f dB" % gain, "%.4f" % f_tot, "%.4f dB" % (10 * math.log10(f_tot))])
table(["级", "NF", "增益 G", "累计噪声因子 F", "累计 NF"], rows)
f1, nf1 = cascaded(with_lna)
f2, nf2 = cascaded(without)
print("  有 LNA 时整机 NF = %.4f dB；去掉 LNA 直接从混频器进，整机 NF = %.4f dB。" % (nf1, nf2))
print("  第一级的噪声因子直接加进来，第二级却要先除以第一级的增益（Friis 公式）：")
print("  F = F1 + (F2 − 1)/G1 + (F3 − 1)/(G1G2) —— 前级的增益会“压住”后级的噪声贡献。")
print("  所以接收机的第一级几乎永远是低噪声放大器，而不是滤波器或混频器。")
print("  换到灵敏度上：同样 1 MHz 带宽、要求 SNR 10 dB，两者相差 %.2f dB。"
      % (nf2 - nf1))

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预期输出：

=== 1. 什么时候必须丢掉集总模型：判据是 l 与 λ 的比 ===
  频率     波长 λ    临界长度 λ/10  3 cm 走线相当于 l/λ  
  100 MHz  2998 mm   299.8 mm       0.01001              
  1 GHz    299.8 mm  29.98 mm       0.1001               
  2.4 GHz  124.9 mm  12.49 mm       0.2402               
  5 GHz    59.96 mm  5.996 mm       0.5003               
  10 GHz   29.98 mm  2.998 mm       1.001                
  工程判据：走线长度超过 λ/10 就必须按传输线（分布参数）处理。
  1 GHz 时临界长度正好是 3 cm —— 一块普通 PCB 上随便一条走线都到了这条线，
  所以射频板上的走线不能画成“导线”，要画成“阻抗”。

=== 2. 传输线的两个参数：Z0 与延时 ===
  传输线             εr   相速 v          单位延时      单位电感 L  单位电容 C  
  空气线 / 同轴      1.0  2.9979e+08 m/s  3.3356 ns/m   166.8 nH/m  66.7 pF/m   
  FR-4 微带（εeff）  3.3  1.6503e+08 m/s  6.0595 ns/m   303.0 nH/m  121.2 pF/m  
  陶瓷基板           9.8  9.5765e+07 m/s  10.4422 ns/m  522.1 nH/m  208.8 pF/m  
  Z0 = sqrt(L/C)、v = 1/sqrt(LC) 是传输线的两条定义式，两者相乘就得到 L、C。
  FR-4 微带上 3 cm 走线的延时 = 181.8 ps，在 2.4 GHz 里已经等于 157.1°的相位（λ = 68.8 mm）。

=== 3. 匹配不好会损失多少：S11、SWR 与失配损耗 ===
  |Γ|（= |S11|）  S11        SWR     失配损耗   反射功率  
  0.0000          -inf       1.0000  0.0000 dB  0.00%     
  0.0500          -26.02 dB  1.1053  0.0109 dB  0.25%     
  0.1000          -20.00 dB  1.2222  0.0436 dB  1.00%     
  0.2000          -13.98 dB  1.5000  0.1773 dB  4.00%     
  0.3162          -10.00 dB  1.9248  0.4575 dB  10.00%    
  0.5000          -6.02 dB   3.0000  1.2494 dB  25.00%    
  1.0000          0.00 dB    inf     inf        100.00%   
  S11 是反射系数的 dB 形式：S11 = −10 dB 意味着 10% 的功率被反射回来、
  真正造成损失的失配损耗只有 0.4576 dB —— 反射功率和损耗不是一回事。
  所以“S11 优于 −10 dB”是一条够用的工程线，而高精度系统要求到 −20 dB（1% 反射）。

=== 4. 噪声底：接收机能听到多小的信号 ===
  带宽 B   热噪声功率 kTB（290 K）  折成 dBm     
  1 Hz     4.0039e-21 W             -173.98 dBm  
  1 kHz    4.0039e-18 W             -143.98 dBm  
  1 MHz    4.0039e-15 W             -113.98 dBm  
  20 MHz   8.0078e-14 W             -100.96 dBm  
  100 MHz  4.0039e-13 W             -93.98 dBm   
  290 K 下的噪声功率谱密度 kT = 4.0039e-21 W/Hz，即 -173.98 dBm/Hz —— 这就是常说的 −174 dBm/Hz。
  接收机            噪声系数 NF  带宽    要求 SNR  灵敏度       
  普通接收机 1 MHz  6.0 dB       1 MHz   10 dB     -97.98 dBm   
  低噪接收机 1 MHz  2.0 dB       1 MHz   10 dB     -101.98 dBm  
  LTE 20 MHz        6.0 dB       20 MHz  12 dB     -82.97 dBm   
  无 LNA 前端       9.0 dB       1 MHz   10 dB     -94.98 dBm   
  灵敏度公式只有一行：灵敏度 = −174 dBm/Hz + 10lg(B) + NF + 要求的 SNR。
  注意 −174 已经是固定的，能改进的只有 NF（前端做得多好）和带宽（能用多窄）。

=== 5. 级联噪声系数：为什么第一级放大器最要紧 ===
  级          NF      增益 G   累计噪声因子 F  累计 NF    
  LNA         1.5 dB  15.0 dB  1.4125          1.5000 dB  
  混频器      8.0 dB  10.0 dB  1.5804          1.9878 dB  
  中频放大器  6.0 dB  20.0 dB  1.5899          2.0136 dB  
  有 LNA 时整机 NF = 2.0136 dB；去掉 LNA 直接从混频器进，整机 NF = 8.2005 dB。
  第一级的噪声因子直接加进来，第二级却要先除以第一级的增益（Friis 公式）：
  F = F1 + (F2 − 1)/G1 + (F3 − 1)/(G1G2) —— 前级的增益会“压住”后级的噪声贡献。
  所以接收机的第一级几乎永远是低噪声放大器，而不是滤波器或混频器。
  换到灵敏度上：同样 1 MHz 带宽、要求 SNR 10 dB，两者相差 6.19 dB。

四条结论：

1. 1 GHz 就是分水岭：临界长度 3 cm，而从 1 GHz 到 10 GHz，同样 3 cm 的走线从 0.1001λ 涨到 1.001λ——从一个"可以忽略的短段"变成了"整整一个波长"。
2. FR-4 上 3 cm 走线延时 181.8 ps，在 2.4 GHz 里等于 157.1°：在射频里走线长度不是"长度"，是"相位"。
3. S11 = −10 dB 时反射功率 10.00%，但失配损耗只有 0.4575 dB——反射的功率不等于丢掉的功率，这是本章最容易搞错的一条。
4. 灵敏度公式里的三项只有一项是设计者的：−174 dBm/Hz 是常数、SNR 由调制定、只有 NF 能自己压；而带宽每翻十倍要还 10 dB。

考点

考点

1. 集总与分布的判据

l > λ/10 就必须用传输线（分布参数）模型。

• 1 GHz 的 λ/10 = 29.98 mm，与一条普通 PCB 走线同量级；这就是"1 GHz 是分水岭"的含义。
• 射频里走线的"长度"实质是相位（FR-4 上 3 cm @ 2.4 GHz = 157.1°）。

2. 传输线的两个定义式

• Z0 = sqrt(L/C)、v = 1/sqrt(LC)；由此 L = Z0/v、C = 1/(Z0·v)。
• FR-4 微带（εeff = 3.3）：v = 1.6503e+08 m/s、6.0595 ns/m、303.0 nH/m、121.2 pF/m。
• 先"控制阻抗"再谈别的：射频板上所有走线都要按 50 Ω（或 75/100 Ω 差分）设计。

3. S 参数与匹配指标（高频换算题）

• S11 = 20·lg∣Γ∣；S21 是传输增益。
• SWR = (1+∣Γ∣)/(1−∣Γ∣)；失配损耗 = −10·lg(1 − ∣Γ∣²)。
• S11 = −10 dB（∣Γ∣ = 0.3162）→ SWR 1.9248、失配损耗 0.4575 dB、反射功率 10.00%。
• 反射功率 ≠ 损耗：反射的功率会在线上来回弹，最终大部分还会进负载。
• 史密斯圆图：圆心 Γ = 0；绕圆一周 = λ/2，半周 = λ/4（λ/4 变换器的几何解释）。

4. 噪声（必背）

• 热噪声谱密度 kT：290 K 时 4.0039e-21 W/Hz = −173.98 dBm/Hz ≈ −174 dBm/Hz，与频率无关。
• kTB：带宽每翻十倍，噪声底 +10 dB；1 MHz → −113.98 dBm。
• F = SNR_in / SNR_out、NF = 10lg F；理想器件 F = 1。

5. 级联噪声系数（Friis 顺推）

F = F1 + (F2−1)/G1 + (F3−1)/(G1G2) + …

• 第一级原封不动，后面每级都要除以前面所有级的增益乘积。
• 本页算例：有 LNA 整机 2.0136 dB，无 LNA 8.2005 dB，差 6.19 dB。
• 典型顺序：天线 → LNA → 滤波器 → 混频器；滤波器放在 LNA 前，插损会直接加到整机 NF 上。

6. 灵敏度与动态范围

灵敏度 = −174 dBm/Hz + 10lg(B) + NF + 要求的 SNR。

• 只有 NF 是自己能设计的；带宽是"要速率就得还的债"。
• P1dB（增益压缩 1 dB）与 IIP3（三阶截点）衡量大信号下的表现；NF 要小、IIP3 要大，两者互相矛盾，是射频前端的核心取舍。

7. 易错点清单

• 把 S11 = −10 dB 理解成"损失 10% 的功率"：是 10% 被反射，实际失配损耗只有 0.4575 dB。
• 忘记 −174 dBm/Hz 与频率无关（只与温度有关）。
• 级联 NF 直接把各级 NF 相加：必须按 (F−1)/G_前 折算。
• 把滤波器放在 LNA 之前却不算它的插损：那 1~2 dB 会 1:1 加到整机 NF 上。
• 用光速算 FR-4 上走线的延时：按 c/sqrt(εeff)，FR-4 上只有 0.55c 左右。
• 认为提高增益就能改善灵敏度：灵敏度由 NF 决定，增益只决定后级能不能"看见"信号。

小结

• 射频是一道失效边界，不是一段频率：l > λ/10 就必须用传输线与波的语言；1 GHz 时临界长度正好 3 cm。
• 传输线只有两个参数：Z0 = sqrt(L/C)、v = 1/sqrt(LC)；FR-4 上 3 cm 走线 = 181.8 ps = 157.1°相位——在射频里走线长度就是相位。
• S 参数是射频的通用语言：S11 = −10 dB 对应 10.00% 反射功率，却只有 0.4575 dB 失配损耗——反射功率不等于损耗。
• 热噪声 −174 dBm/Hz 与频率无关，带宽每翻十倍噪声底 +10 dB；F = SNR_in/SNR_out。
• 级联 NF 按 Friis 顺推：第一级原封不动、后级除以前面所有增益。本页算例中一级 LNA 值 6.19 dB 的灵敏度（2.0136 dB 对 8.2005 dB）。
• 灵敏度 = −174 + 10lgB + NF + SNR：四项里只有 NF 是自己能设计的，带宽是要速率就得还的债。
• NF 小与 IIP3 大互相矛盾——这就是射频前端设计的全部难点，也是这个分支存在的理由。

回到分支：到这里，elec 这一门从 信号与系统 一路走到了射频前端——连续信号 → 变换域 → 采样与量化 → 数字处理 → 滤波设计 → 通信系统 → 电磁传播 → 射频指标。这条链的每一环都建立在上一环之上，而最下面那一环是 复变函数与积分变换 提供的数学。

与主线的交汇有三处，都很实在：net/10-physical 的物理层用的是 通信原理 的容量公式与本章的链路预算；采样定理 与 DSP 处理的音频、图像分别接 数字音频 与 数字图像处理；而"把算法跑到真实硬件上"这条出口，接到下一门分支课程。

这一章回答的是"在微波射频这一段，怎么把波变成可交付的电路指标"；下一门课程换一个方向——离开信号处理，去看"程序怎么跑在一颗真实的单片机上"。

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