数字音频

概念

数字音频只做三件事，然后倒着做一遍还原出来。

步骤	做什么	关键参数
采样（sampling）	在时间轴上取离散点	采样率 $f_s$
量化（quantization）	把每个点的幅度变成有限档位	位深 $n$
编码（coding）	把数字流组织成存储/传输格式	码率、格式

还原由 DAC（数模转换）完成：读离散值 → 重建连续波形 → 低通滤波去掉采样带来的镜像。

与基础乐理的接口在这里：声音的一切听感（音高 = 频率、音长 = 时值、音强 = 振幅、音色 = 泛音结构）都可以被 频率—时间—振幅 三个维度完整描述，所以只要采样率够、位深够，数字音频原则上可以无损地还原任何声音。

本章是音乐一科唯一技术向的一章，它与主线的交叉点最多——采样与量化是 ADC/DAC 器件的活，滤波与频域是信号与系统的活，压缩编码与网络传输是同一套思路。"把连续世界切成数字"这件事，在音频、图像、传感器里是同一个问题。

原理

采样定理：为什么必须 $f_s\ge 2f_{max}$

奈奎斯特—香农采样定理：若信号最高频率为 $f_{max}$，则只要

$$f_s\ge 2f_{max}$$

就能由采样序列无失真地重建原信号。$f_s/2$ 称为奈奎斯特频率。

定理的直观解释：要确定一个正弦波，至少需要在一个周期内取到 2 个点（一个说"高点在哪"，一个说"低点在哪"）。少于 2 个点，你就分不清它到底是低频还是高频——这不是"采少了失真"，而是"高频被伪装成低频"。

**混叠（aliasing）**就是这种伪装：

$$f_{\text{alias}}=|f-f_s\cdot \mathrm{round}\left(\frac{f}{f_s}\right)|$$

例如用 $f_s=8\text{kHz}$ 采 $f=10\text{kHz}$：

$$f_{\text{alias}}=|10000-8000\times 1|=2000\text{Hz}$$

你录进去 10 kHz，放出来变成 2 kHz——而且它和真的 2 kHz 完全无法区分。所以 ADC 前面必须有一个抗混叠低通滤波器，先把 $f_s/2$ 以上的成分滤掉。滤波器不是"锦上添花"，它是采样成立的前提。

采样率	奈奎斯特频率	说明
8 kHz	4 kHz	电话语音，够听懂
22.05 kHz	11.025 kHz	早期多媒体
44.1 kHz	22.05 kHz	CD 标准，略高于人耳上限 20 kHz
48 kHz	24 kHz	影视与专业音频
96 / 192 kHz	48 / 96 kHz	高解析录音与后期处理余量

为什么 44.1 kHz 而不是 40 kHz：人耳上限 20 kHz，理论上 40 kHz 就够，但抗混叠滤波器需要一段过渡带（不可能做到理想砖墙），预留 2 kHz 让滤波器有地方"爬坡"。

量化：位深决定动态范围

量化把连续的幅度值映射到有限档位。$n$ 位的档位数：

$$L=2^n$$

位深	档位数	典型用途
8	256	老式游戏、电话
16	65 536	CD
24	16 777 216	录音棚
32	4 294 967 296	内部处理（浮点）

量化必然引入量化噪声（幅度误差 ≤ 半个量化台阶）。对满幅正弦信号，理论信噪比：

$$\text{SNR}\approx 6.0206n+1.76\text{dB}$$

"每增加 1 位，动态范围约提升 6 dB" 这条经验公式的全部内容就是这个式子。另一个常用口径是仅按满幅峰值比算：

$$20{\log }_{10}{2}^n=6.0206n\text{dB}$$

两种口径差 1.76 dB，引用时必须说清用的是哪一个——这是最常见的口径混淆。

抖动（dither）：在量化前加入幅度约 1 LSB 的随机噪声再量化。听起来像"故意加噪"，实际效果相反——它把与信号相关的规则失真（听感上像"颗粒感""金属声"）换成了与信号无关的随机噪声（听感上是轻微底噪）。人耳对随机噪声的容忍度远高于规则失真，所以加抖动后主观音质更好。这是"用可容忍的误差换取误差类型的改善"，与中国音乐史里十二平均律"牺牲 1.955 音分换自由转调"是同一种取舍思维。

PCM 与码率

**脉冲编码调制（PCM）**就是"采样 + 量化 + 编码"三件套的标准实现，WAV 里的音频数据基本都是 PCM。码率（bit rate）：

$$R=f_s\times n\times \text{声道数}$$

这是本章最该背下来的一条公式：三个因子各对应一个可调的音质维度。

格式	类型	典型码率	说明
WAV / PCM	无压缩	1411.2 kbps（CD）	原始数据
FLAC / ALAC	无损压缩	约 700~1000 kbps	熵编码，还原后与原始逐位相同
MP3	有损	128 / 192 / 320 kbps	心理声学模型
AAC	有损	128~256 kbps	同码率优于 MP3
Opus	有损	32~128 kbps	低码率与网络通话强

有损压缩靠什么省

关键不在"删数据"，而在**"删听不见的数据"，依据是心理声学**：

现象	内容	用途
同时掩蔽	强音附近的弱音听不出来	强音附近的分量可以粗量化
时域掩蔽	强音前后一小段（约 5~20 ms）内的弱音被掩蔽	帧间冗余可丢
临界频带	人耳对频率的分辨不是线性的，而是按频带打包	频域按临界带宽分组成"尺度因子带"
绝对听阈	低于听阈的成分一律听不见	直接丢弃

实现路径：分帧 → 加窗 → MDCT（改进离散余弦变换）→ 心理声学模型计算"掩蔽阈值"→ 对每个频带按可容忍误差分配比特 → 熵编码。码率低时，被砍掉的是"被掩蔽掉的细节"，不是"整体音质"。 这也解释了为什么 MP3 在低码率下听感劣化明显（掩蔽模型不够用了），而在 128 kbps 以上对多数听众已接近透明。

频域：FFT 与频率分辨率

把时域样本变到频域用 DFT / FFT。做 $N$ 点 FFT，频率分辨率为：

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{f_s}{N}$$

时频不确定性在这里直接显形：想要精细的频率分辨（小 $\mathrm{\Delta }f$），就必须拉长窗（大 $N$），代价是时间分辨变粗（窗长 $T=N/f_s$ 变大）。不可能同时拥有极细的频率分辨和极细的时间分辨——这不是算法不够好，是数学的边界。

加窗（Hanning、Hann、Blackman 等）是为了抑制泄漏：直接截断会使频谱"漏"到相邻频点，加窗让两端渐变为 0，代价是主瓣变宽（分辨率略降）。"更好的窗"总是"以分辨率换泄漏抑制"，没有免费的选择。

示例

例 1：CD 的码率与文件大小

题目：CD 音频为 44.1 kHz、16 位、双声道。求码率、1 分钟与 10 分钟的原始数据量。

完整计算过程：

$$R=44100\times 16\times 2=1411200\text{bps}=1411.2\text{kbps}=1.4112\text{Mbps}$$

1 分钟（60 s）的总比特数：

$$1411200\times 60=84672000\text{bit}$$

换成字节（÷8）：

$$\frac{84672000}{8}=10584000\text{B}=10.584\text{MB}$$$$\frac{10.584\times {10}^6}{{1024}^2}=10.0937\text{MiB}$$

10 分钟：

$$10.584\times 10=105.84\text{MB}=100.94\text{MiB}$$

结论：CD 每分钟约 10.58 MB（10.09 MiB）。标准音频 CD 的 74 分钟上限对应的音频数据量：

$$74\times 10.584=783.2\text{MB}$$

（80 分钟的 CD-R 则为 $80\times 10.584=846.7$ MB。）

而 CD 的时长标准被定为 74 分钟，通行的解释是**"刚好容纳一张贝多芬第九交响曲"（全曲约 74 分钟）**——技术标准的参数常由具体需求反推确定，而不是取一个漂亮的整数。

注意 10.584 MB 与 10.09 MiB 的差别：前者按 ${10}^6$ 进制（MB），后者按 ${1024}^2$（MiB）。音频领域的实测数值常被两者混用，报告里要写清口径。

例 2：位深与动态范围

题目：给出 8、16、24、32 位的量化档数与两种口径下的动态范围。

完整计算过程：

档位数 $L=2^n$：

$$2^8=256,2^{16}=65536,2^{24}=16777216,2^{32}=4294967296$$

峰值口径 $20{\log }_{10}{2}^n=6.0206n$：

$$6.0206\times 8=48.16,6.0206\times 16=96.33,6.0206\times 24=144.49,6.0206\times 32=192.66\text{dB}$$

正弦 RMS 口径 $6.0206n+1.76$：

位深	档位数	峰值口径 (dB)	正弦 RMS 口径 (dB)
8	256	48.16	49.92
16	65 536	96.33	98.09
24	16 777 216	144.49	146.25
32	4 294 967 296	192.66	194.42

另一个常用量是最小可分辨台阶（1 LSB）相对满幅：

$$\frac{1}{65536}=0.001526\mathrm{\%}=20{\log }_{10}\frac{1}{65536}=-96.33\text{dBFS}$$

结论：16 位有 65 536 档、动态范围约 96.3 dB（峰值口径）/ 98.1 dB（正弦口径）。而人耳的可听动态范围约 120 dB——所以16 位在极安静段确实不如 24 位：24 位的 144.5 dB 才真正覆盖人耳全范围。

这就是录音棚用 24 位的原因：不是因为"听着更好"，而是因为 24 位把量化底噪压到了人耳听阈以下，给后期留下了不损失信息的剪辑与增益调整空间。母带最终发布成 16 位（CD）时，量化噪声已可忽略。

例 3：FFT 分辨率与时间分辨的取舍

题目：分别求 $f_s=44.1\text{kHz}$ 下 $N=1024$、2048、4096 点 FFT 的频率分辨率与窗长。

完整计算过程：

$$\mathrm{\Delta }{f}_{1024}=\frac{44100}{1024}=43.066\text{Hz},T_{1024}=\frac{1024}{44100}=0.02322\text{s}=23.22\text{ms}$$$$\mathrm{\Delta }{f}_{2048}=\frac{44100}{2048}=21.533\text{Hz},T_{2048}=\frac{2048}{44100}=46.44\text{ms}$$$$\mathrm{\Delta }{f}_{4096}=\frac{44100}{4096}=10.767\text{Hz},T_{4096}=\frac{4096}{44100}=92.88\text{ms}$$

结论：$N$ 加倍，频率分辨率加倍提升（$\mathrm{\Delta }f$ 减半），时间分辨率同步加倍变粗。1024 点在 44.1 kHz 下只能分辨间隔 43 Hz 的成分——而在 100 Hz 附近的低频区，43 Hz 已经超过了四分之一个八度（半音约 100 音分 ≈ 频率比 5.95%，100 Hz 处即 5.95 Hz）。用 1024 点 FFT 分析低音的音准，精度根本不够，必须加大 $N$ 或降采样。

另一头同样重要：$N$ 太大时窗长变长，打击乐的瞬态（几毫秒）会被"抹平"。做音频分析时选 $N$，就是在这两头之间找一个能满足当前任务的点。

例 4：压缩比与 MP3 帧结构

题目：求 CD 音质压到 128、192、256、320 kbps 的压缩比，并求 MP3 一帧的时长。

完整计算过程：

压缩比 = 原始码率 ÷ 压缩后码率：

$$\frac{1411.2}{128}=11.03,\frac{1411.2}{192}=7.35,\frac{1411.2}{256}=5.51,\frac{1411.2}{320}=4.41$$

无损压缩（FLAC 约 700 kbps）：

$$\frac{1411.2}{700}=2.02,\text{节省}=(1-\frac{700}{1411.2})\times 100\mathrm{\%}=50.4\mathrm{\%}$$

MPEG-1 Layer III（MP3）每帧 1152 个样本，帧长：

$$T_{\text{frame}}=\frac{1152}{44100}=0.026122\text{s}=26.12\text{ms}$$

在 32 kHz 采样时：

$$T_{\text{frame}}=\frac{1152}{32000}=0.036\text{s}=36.00\text{ms}$$

结论：无损压缩只能省约一半（压缩比 2.02），因为有损格式的 11 倍压缩比里，多出来的那 5 倍全靠"丢掉听不见的东西"——这两者的差距就是心理声学模型的价值。

26.12 ms 这个帧长还解释了 MP3 的一个已知缺陷：编码器有约 26 ms 的算法延迟，加上滤波器组延迟，总延迟常在 50 ms 以上。这就是为什么实时通话、现场监听不用 MP3 类格式，而用低延迟的 Opus / AAC-LD——压缩率与延迟在音频编码里是一对结构性矛盾。

要点

要点与常见误区

1. 数字音频三步：采样（时间离散）、量化（幅度离散）、编码（组织数据）；还原由 DAC 完成。
2. 采样定理 $f_s\ge 2f_{max}$，奈奎斯特频率 = $f_s/2$。44.1 kHz 对应 22.05 kHz，不是 44.1 kHz——把奈奎斯特频率当成采样率是最常见的口误。
3. 欠采样的后果是"混叠"而不是"变糊"：8 kHz 采 10 kHz 会得到 2 kHz 的假信号，与真 2 kHz 无法区分；所以抗混叠滤波器是采样的前提，不是可选配件。
4. 编码前必须滤波，编码后必须重建滤波：少了任一侧，要么进混叠，要么出镜像频率。
5. "每 1 位约 6 dB"，公式是 $6.0206n+1.76$ dB（满幅正弦）或 $6.0206n$ dB（峰值口径）——引用时必须说明用的是哪个口径，差的 1.76 dB 常被当成错误答案的来源。
6. 抖动（dither）不是"加噪声污染音质"：它把与信号相关的规则失真换成随机噪声，主观音质反而更好。这是"换误差类型"的经典手法。
7. 码率公式 $R=f_s\times n\times \text{声道数}$：三个因子各对应一个可调维度；CD 为 1411.2 kbps。
8. 无损压缩（FLAC）只能省约一半，有损压缩（MP3 320k）能省 4.4 倍、128k 能省 11 倍——多出来的部分全部来自心理声学的"掩蔽"。
9. FFT 分辨率 $\mathrm{\Delta }f=f_s/N$，与窗长 $T=N/f_s$ 互为倒数关系：频率分辨与时间分辨不可能同时最优，这是数学边界，不是算法缺陷。
10. 不要用高采样率去补救"听不出差别"：44.1 kHz 已覆盖人耳 20 kHz 上限；96/192 kHz 的价值主要在后期的滤波余量与处理精度，而不是回放听感。"采样率越高音质越好"是个被营销强化的半真命题。

小结

• 三步走：采样（$f_s$）→ 量化（$n$ 位）→ 编码（格式与码率），还原靠 DAC。
• 采样定理 $f_s\ge 2f_{max}$；奈奎斯特频率 = $f_s/2$；欠采样导致混叠（8 kHz 采 10 kHz → 假 2 kHz），故必须配抗混叠低通滤波。
• 量化档数 $L=2^n$；动态范围约 $6.0206n+1.76$ dB（满幅正弦）或 $6.0206n$ dB（峰值）；16 位 = 65 536 档 ≈ 96.3/98.1 dB。
• 抖动 dither 用随机噪声替代规则失真，主观上更干净。
• 码率 $R=f_s\times n\times \text{声道数}$：CD 为 $44100\times 16\times 2=1411200$ bps，每分钟 10.58 MB（10.09 MiB），10 分钟 105.84 MB。
• 有损压缩靠催眠声学的同时掩蔽、时域掩蔽、临界频带、绝对听阈：1411.2 kbps 压到 320 kbps 为 4.41 倍，128 kbps 为 11.03 倍；无损 FLAC 只能到 2.02 倍。
• FFT：$\mathrm{\Delta }f=f_s/N$，窗长 $T=N/f_s$；44.1 kHz 下 1024/2048/4096 点分别为 43.07 / 21.53 / 10.77 Hz，窗长 23.22 / 46.44 / 92.88 ms——时频分辨率的取舍是数学边界。
• 帧长与延迟：MP3 一帧 1152 样本，44.1 kHz 下 26.12 ms；实时场景要用低延迟编解码（Opus / AAC-LD）。

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👉 这条线在主线上的落点（本章标 ★ 的原因）：数字音频的四块技术，在主线里各有对应的章节——

• 采样定理、滤波器、DFT/FFT、Z 变换：属于信号与系统与数字信号处理的正式内容，见 分支 · 电子与通信；本章只用了它的结论，推导在那里展开。
• 采样保持电路、ADC/DAC 的精度与速度：本质是模拟与混合信号电路问题，见 电 · 电路与数字逻辑；而"用什么工艺做出更快的比较器"回到 硅 · 半导体与器件。
• 码率、压缩与传输：与 计算机网络 里"带宽是稀缺资源，靠压缩换效率"是同一套经济学；音频编解码也算一种信源编码。
• 位深与动态范围的定量关系，与 计算机组成原理 里定点数/浮点数的表示范围与精度是同一个问题：用有限的位表示无限的连续量，必然要在范围与精度之间做取舍。

一句话收束整门音乐课：乐理给出度量（音高、音长、音强、音色），视唱练耳建立感知（内心听觉），音乐史提供上下文（为什么这么写），曲式回答组织（怎么铺开），数字音频交代载体（怎么变成可以用来计算和传输的数据）。从振动到比特，音乐就是这样一路走过来的。

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音乐六章到此读完。回到学科首页：音乐　|　继续通识第三档：美术