基础乐理

概念

音乐是有组织的声音在时间中的流动。要"组织"它，先得把声音拆成可度量的量。

四个基本要素：

要素	物理对应	记谱符号
音高	基频（Hz）	符头在五线谱上的位置
音长	时值（秒）	符头形状 + 符尾
音强	振幅 / 声压级（dB）	力度记号 p、f 等
音色	泛音结构（频谱）	用乐器名标注

乐音与噪音的分界不是"好不好听"，而是振动是否规则：乐音由周期性振动产生，有确定的基频与成整数倍的泛音；噪音的振动无周期、频谱连续。打击乐大多属噪音，但它们同样能被组织进音乐——这是二十世纪音乐观念的一次解放。

人耳可听范围约 20 Hz ~ 20 kHz，跨度约 9.97 个八度。低于 20 Hz 叫次声，高于 20 kHz 叫超声——这也是数字音频一章里采样率取值的全部依据。

原理

音高由基频决定

弦振动的基频：

$$f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

• $L$ 有效弦长，$T$ 张力，$\mu$ 线密度（kg/m）。
• 三个可调量对应三种演奏手段：按弦缩短 $L$（左手）、揉弦与调弦改变 $T$、换粗细不同的 $\mu$（换弦）。

八度 = 频率 ×2，这是全部音律体系的起点：A4 = 440 Hz，则 A5 = 880 Hz、A3 = 220 Hz。频率是线性翻倍，听感才是"等距"——所以音高关系必须用对数度量。

十二平均律

把八度等分 12 份，每份为一个半音（semitone），相邻半音的频率比恒为：

$$r=2^{1/12}\approx 1.0594631$$

从 A4 = 440 Hz 出发，逐半音上推：

相对 A4 的半音数	音名	频率 (Hz)
0	A4	440.00
+1	A♯4 / B♭4	466.16
+3	C5	523.25
+7	E5	659.26
+12	A5	880.00

其中 +7 半音是纯五度，+3 半音是小三度，+12 是纯八度。

为什么是 12 份而不是别的：只有把八度分成 12 等份，才能让"纯五度（3:2）""大三度（5:4）"这些自然界最协和的比例用同一套等距刻度同时逼近。代价是每个音程都差一点（见下文），换来的是任意调都能弹、任意调都不难听——这就是"平均律"这个名字的全部含义。

音程：度数 + 音数

音程是两音之间的距离，要两个维度一起说：

• 度数（级数）：数音名的个数，C 到 G 是五度；
• 音数：含几个半音，决定它是"纯""大""小""增""减"。

音程	半音数	协和程度
纯一度	0	极协和
小二度	1	不协和
大二度	2	不协和
小三度	3	不完全协和
大三度	4	不完全协和
纯四度	5	协和
增四度 / 减五度	6	不协和（三全音）
纯五度	7	极协和
小六度	8	不完全协和
大六度	9	不完全协和
小七度	10	不协和
大七度	11	不协和
纯八度	12	极协和

**音分（cent）**是音程的统一度量单位：一个半音 = 100 音分，一个八度 = 1200 音分。

$$\text{cents}=1200{\log }_2\frac{f_2}{f_1}$$

它把乘性的频率比转成加性的刻度——音程可以相加，频率比只能相乘。这个转换与数学基础里"对数把乘法变加法"是同一条思路。

纯律与平均律的差距

自然界的协和关系来自简单整数比：纯八度 2:1、纯五度 3:2、大三度 5:4。

音程	纯律比	纯律音分	平均律音分	差值
纯五度	3:2	701.955	700	+1.955
大三度	5:4	386.314	400	−13.686
小三度	6:5	315.641	300	+15.641
增四度	45:32	590.224	600	−9.776

读法：平均律的五度只差 2 音分，人耳几乎听不出；但大三度比纯律宽了近 14 音分，能听出"稍亮、不太纯"。所以同一套平均律下，五度听起来仍然协和，三度则明显不如纯律干净——这正是钢琴调律上"五度微微缩小、三度微微放大"的直接来源。

音阶与调式

大调音阶 = 全全半全全全半，相邻音的半音数 2 2 1 2 2 2 1，累加恰好 12。这就是"do re mi fa sol la si"，听感明亮稳定。

自然小调音阶 = 全半全全半全全（2 1 2 2 1 2 2），听感柔和忧郁。和声小调把第 VII 级升高半音，得到导音、强化向主音的倾向；旋律小调上行再升第 VI 级、下行还原，为的是避免和声小调里那个增二度。

调式 = 音阶 + 主音：

概念	含义
主音	调式的中心音，其余音都"倾向于"它
音级	I～VII 级，功能标记 T / S / D
调号	五线谱开头的升降号，标明该调用哪些固定升降音
五度圈	按纯五度上下相生排列 12 个调，转 12 步必回主调

民族五声调式（宫商角徵羽）与中古调式（多利亚、弗里吉亚等）是另外两套音阶组织法，前者详见中国音乐史。

和声入门

三和弦 = 三个音按三度叠置（根音 + 三音 + 五音）：

类型	结构（半音数）	听感	大调音级上的位置
大三和弦	4 + 3	明亮	I、IV、V
小三和弦	3 + 4	柔和	ii、iii、vi
减三和弦	3 + 3	紧张	vii°

和声功能的三个支柱（以大调为例）：

功能	和弦	作用
主功能 T	I 级	稳定、终止、回家
属功能 D	V 级（含 vii°）	不稳定、强烈要求解决到 T
下属功能 S	IV 级（含 ii）	推进、离开主功能

经典进行 T → S → D → T（即 I–IV–V–I）之所以"完整"，是因为它走了一条"稳定 — 离开 — 最不稳定 — 回家"的张力曲线。和声的实质就是张力的制造与释放，这与曲式里"乐句如何收尾"是同一件事的两个尺度。

示例

例 1：从 A4 = 440 Hz 推各个音

题目：求 A5、E5、C5、A♯4、C4 的频率，以及 A4 的周期与空气中的波长（声速取 343 m/s）。

完整计算过程：

① 八度是 ×2：

$$f_{A5}=440\times 2=880.00\text{Hz},f_{A3}=440÷2=220.00\text{Hz}$$

② 其余按 $f=440\times 2^{n/12}$（$n$ 为相对 A4 的半音数）：

$$f_{E5}=440\times 2^{7/12}=440\times 1.498307=659.26\text{Hz}$$$$f_{C5}=440\times 2^{3/12}=440\times 1.189207=523.25\text{Hz}$$$$f_{A\mathrm{♯}4}=440\times 2^{1/12}=440\times 1.0594631=466.16\text{Hz}$$$$f_{C4}=440\times 2^{-9/12}=440\times 0.594604=261.63\text{Hz}$$

③ 周期与波长：

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{440}=2.2727\text{ms},\lambda =\frac{v}{f}=\frac{343}{440}=0.7795\text{m}$$

结论：A4 = 440 Hz 的波长约 0.78 m、周期约 2.27 ms；中央 C（C4）为 261.63 Hz，波长约 1.31 m。这个数量级解释了为什么管风琴的低音管要几米长——想发出 C1（32.70 Hz）的声音，波长已达 10.49 m。

例 2：同一条弦，音高怎么变

题目：某弦有效长 0.65 m、张力 70 N、线密度 1.2 g/m。求基频；若按弦使有效长减半，频率变多少？

完整计算过程：

$$\mu =1.2\text{g/m}=0.0012\text{kg/m}$$$$f=\frac{1}{2\times 0.65}\sqrt{\frac{70}{0.0012}}=0.769231\times \sqrt{58333.33}=0.769231\times 241.523=185.79\text{Hz}$$

弦长减半（$L^{\prime }=0.325$ m），其余量不变：

$$f^{\prime }=\frac{1}{2\times 0.325}\times 241.523=1.538462\times 241.523=371.57\text{Hz}$$

结论：185.79 Hz ≈ F♯3，371.57 Hz ≈ F♯4，恰好高一个八度。这验证了"弦长减半 = 高八度"，也说明当 $\mu$ 与 $T$ 不变时 $f\propto 1/L$——音程关系完全由长度比决定，这就是弦乐器指板上"同一位置换弦即换调"的道理。

例 3：平均律与纯律到底差多少

题目：比较纯五度（3:2）、纯律大三度（5:4）与平均律对应音程的音分差。

完整计算过程：

$$\text{纯五度}=1200{\log }_2\frac{3}{2}=1200\times 0.584963=701.955\text{cents}$$$${\mathrm{\Delta }}_5=701.955-700=+1.955\text{cents}$$$$\text{纯律大三度}=1200{\log }_2\frac{5}{4}=1200\times 0.321928=386.314\text{cents}$$$${\mathrm{\Delta }}_3=386.314-400=-13.686\text{cents}$$

结论：平均律五度比纯律宽 1.96 音分，平均律大三度比纯律窄 13.69 音分。1.96 音分已在多数人听阈边缘（受过训练者约可辨 5 音分），13.69 音分则明确可闻。

还有一处必须知道：12 个纯五度叠加 = 12 × 701.955 = 8423.46 音分，而 7 个八度 = 8400 音分，两者差 23.46 音分——这就是古代音差。正是因为"纯五度叠不出整数个八度"，才必须有十二平均律这种折中，完整推导见中国音乐史。

要点

要点与常见误区

1. 音高关系必须用对数看：八度是频率 ×2，但听感是"等距"。音程的通用单位是音分（半音 = 100 音分，八度 = 1200 音分），公式 $1200{\log }_2(f_2/f_1)$。
2. 十二平均律的半音比是常数 $2^{1/12}=1.0594631$，不是"每个半音差多少 Hz"——Hz 差随音区升高而变大：A4→A♯4 差 26.16 Hz，A5→A♯5 差 52.33 Hz。
3. "平均律不准"与"平均律不好"是两件事：五度只差 1.96 音分（可忽略），三度差 13.69 音分（可闻）。换来的是自由转调，收益远大于损失。
4. 度数看音名、音数看半音：C–E 与 C–♭E 都是"三度"，一个 4 半音（大三）、一个 3 半音（小三）。只数半音不看音名，会把增二度和小三度混为一谈。
5. 大调音阶的结构是"全全半全全全半"（2-2-1-2-2-2-1），要能默写并累加出 12 个半音。
6. 和声小调升 VII 是为了得到导音，不是为了"好听"——导音与主音只差半音，构成最强倾向性，这是终止式能"回家"的根本原因。
7. 三和弦判大小看"下面那个三度"：根音到三音是大三度 → 大三和弦；小三度 → 小三和弦。减三和弦（3+3）与增三和弦（4+4）都需解决。
8. "do re mi"是唱名不是音名：唱名随调移动（首调），音名 CDEFG 固定；写分析报告一律用音名，别混（见视唱练耳）。

小结

• 四要素：音高（频率）、音长（时值）、音强（振幅）、音色（泛音结构）；乐音与噪音的分界是振动是否周期。
• 音高用频率的对数度量：半音 = 100 音分，八度 = 1200 音分，$1200{\log }_2(f_2/f_1)$。
• 十二平均律把八度等分 12 份，半音比恒为 $2^{1/12}=1.0594631$；A4 = 440 Hz，故 A5 = 880 Hz、C5 = 523.25 Hz、C4 = 261.63 Hz。
• 纯律协和来自整数比（2:1、3:2、5:4）；平均律五度差 1.96 音分不可闻、三度差 13.69 音分可闻，另有古代音差 23.46 音分。
• 调式 = 音阶 + 主音；大调 2-2-1-2-2-2-1，自然小调 2-1-2-2-1-2-2。
• 和声 = 张力的制造与释放：T → S → D → T 是最基本的张力曲线。

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