物理 · 近代物理

概念

19 世纪末，经典物理（牛顿力学 + 麦克斯韦电磁理论）看起来已经圆满，只剩"两朵乌云"：

• 黑体辐射的紫外灾难 → 催生了量子论
• 迈克耳孙-莫雷实验测不到以太风 → 催生了相对论

近代物理就是这两朵乌云长出来的两棵大树：相对论改写空间、时间与质量，量子论改写能量、物质与确定性。

一句话区分：相对论管"又快又重"（高速、强引力），量子论管"又小又轻"（原子尺度）；日常尺度下两者都退化回经典物理，所以牛顿力学至今够用。

原理

一、狭义相对论

两条基本假设：

1. 相对性原理：所有惯性系中物理定律形式相同
2. 光速不变原理：真空光速 $c$ 在任何惯性系中都是同一个值，与光源运动无关

由这两条推出的结论（$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$ 为洛伦兹因子）：

效应	公式	含义
时间膨胀（钟慢）	$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$	运动的钟走得慢，$\mathrm{\Delta }{t}_0$ 是固有时间（与物体相对静止的钟测的）
长度收缩（尺缩）	$L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}$	沿运动方向的长度变短，$L_0$ 是固有长度
质速关系	$m=\gamma m_0$	速度趋近 $c$ 时质量趋于无穷，所以有静质量的物体到不了光速
质能方程	$E=m{c}^2=\gamma m_0{c}^2$	质量与能量是同一件事的两种度量

还有同时性的相对性：在一个参考系中同时发生的两件事，在另一个参考系中未必同时——"同时"不再是绝对的。

二、量子论的起点

普朗克能量子假设（1900）：能量不是连续的，只能一份一份地交换

$$E=h\nu ,h=6.626\times {10}^{-34}\text{J·s}$$

光电效应（爱因斯坦，1905）：光照射金属打出电子

$$h\nu =W_0+E_{kmax},E_{kmax}=\frac{1}{2}m{v}^2,e{U}_c=E_{kmax}$$

其中 $W_0$ 是逸出功（金属固有），$U_c$ 是遏止电压。关键结论：能否打出电子只取决于频率（$\nu >{\nu }_0=W_0/h$ 才能发生），与光强无关；光强只影响打出电子的数量。这是"光是粒子"的直接证据。

三、原子结构与能级

玻尔模型：电子只能在特定轨道（定态）上运动，不辐射能量；跃迁时才吸收或放出光子

$$h\nu =E_m-E_n$$

氢原子能级 $E_n=-{\displaystyle \frac{13.6}{n^2}}\text{eV}$；$n=1$ 为基态，$n\to \mathrm{\infty }$ 为电离（需 13.6 eV）。这是光谱线呈离散条状的原因，也是"原子有结构"的铁证。

四、波粒二象性与不确定性

德布罗意关系：不只光，一切物质都有波动性

$$\lambda =\frac{h}{p}$$

电子的德布罗意波长比可见光短得多，这正是电子显微镜分辨率远高于光学显微镜的原因。

不确定性原理（海森堡）：

$$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$$

这不是仪器精度不够，而是微观世界的内禀性质：位置测得越准，动量就越不确定，反之亦然。量子力学因此只能给出概率，不再像牛顿力学那样给出确定的轨道。

五、与主线（硅）的关系

半导体的能带论、PN 结、量子隧穿、激光——全部建立在量子论之上。摩尔定律走到今天的物理极限（栅极太薄 → 电子隧穿漏电），遇到的正是量子效应。想深挖可看 硅 · 半导体与器件。

示例

例 1：μ 子的时间膨胀（经典算例）

μ 子固有寿命 $\mathrm{\Delta }{t}_0=2.2\mu \text{s}$，宇宙线产生的 μ 子以 $v=0.99c$ 飞向地面。

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{0.99}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0.9801}}=\frac{1}{\sqrt{0.0199}}\approx 7.09$$

地面观察者（相对 μ 子运动）看到的寿命：

$$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0=7.09\times 2.2\approx 15.6\mu \text{s}$$

飞行距离：

$$s=v\mathrm{\Delta }t=0.99\times 3.0\times {10}^8\times 15.6\times {10}^{-6}\approx 4.6\times {10}^3\text{m}\approx 4.6\text{km}$$

若按经典物理算，只能飞 $0.99c\times 2.2\mu \text{s}\approx 650\text{m}$，μ 子根本到不了地面——但地面探测器确实大量测到了 μ 子。时间膨胀是实测事实，不是猜想（GPS 卫星的钟也要同时修正相对论效应，否则定位每天漂移约 10 km）。

例 2：光电效应计算

用波长 $\lambda =300\text{nm}$ 的紫外光照射逸出功 $W_0=2.0\text{eV}$ 的金属。

光子能量：

$$E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }=\frac{6.626\times {10}^{-34}\times 3.0\times {10}^8}{300\times {10}^{-9}}\approx 6.63\times {10}^{-19}\text{J}=\frac{6.63\times {10}^{-19}}{1.6\times {10}^{-19}}\approx 4.14\text{eV}$$

最大初动能与遏止电压：

$$E_{kmax}=4.14-2.0=2.14\text{eV},U_c=\frac{E_{kmax}}{e}=2.14\text{V}$$

截止频率：

$${\nu }_0=\frac{W_0}{h}=\frac{2.0\times 1.6\times {10}^{-19}}{6.626\times {10}^{-34}}\approx 4.83\times {10}^{14}\text{Hz}$$

换用更强的同种光：光电子最大初动能不变（仍 2.14 eV），只是数量变多（电流变大）。这一条正是经典波动理论解释不了、量子论一战成名的关键。

用代码验算

h, c, e = 6.626e-34, 3.0e8, 1.6e-19

# 例 1：时间膨胀
import math
t0, v_over_c = 2.2e-6, 0.99
gamma = 1 / math.sqrt(1 - v_over_c**2)
dt = gamma * t0
print(f"γ = {gamma:.2f}  地面测寿命 {dt*1e6:.1f} μs  "
      f"飞行距离 {v_over_c*c*dt/1000:.1f} km（经典仅 {v_over_c*c*t0/1000:.2f} km）")

# 例 2：光电效应
lam, W0 = 300e-9, 2.0
E_photon = h * c / lam / e            # 换算成 eV
Ek = E_photon - W0
print(f"光子能量 {E_photon:.2f} eV  最大初动能 {Ek:.2f} eV  遏止电压 {Ek:.2f} V")
print(f"截止频率 {W0*e/h:.2e} Hz")

要点

要点与常见误区

1. 固有时间最短：$\mathrm{\Delta }{t}_0$ 是与事件相对静止的钟测到的（同一地点发生的两事件），其他参考系测到的都更长。别把两个时间代反。
2. 长度收缩只沿运动方向：垂直于运动方向的长度不变。
3. 有静质量的物体到不了光速：速度越接近 $c$，$\gamma$ 越大，加速所需的能量趋于无穷。
4. $E=m{c}^2$ 不是"质量变成能量"，而是质量就是能量的一种量度；核反应中亏损的质量以能量形式释放，总质能守恒。
5. 光电效应能否发生只看频率，与光强无关；光强只改变光电子数目（饱和电流）。这是最经典的反直觉考点。
6. 遏止电压 $U_c$ 对应最大初动能，不是平均动能；$e{U}_c=E_{kmax}$。
7. 原子光谱是离散的，因为能级是离散的；若能量连续，光谱就该是一片连续带。
8. 不确定性原理是内禀性质，不是测量技术不足；它宣告了"电子有确定轨道"这种图像的失效。
9. 相对论与量子论并非互相否定，它们各自有适用范围；日常宏观低速下，两者都退化成经典物理，牛顿力学依然精确可用。

小结

• 相对论：光速不变 + 相对性原理 → 时间膨胀、长度收缩、$E=m{c}^2$，已被 GPS、粒子加速器反复验证。
• 量子论：能量量子化 → 光电效应、能级跃迁、波粒二象性、不确定性原理。
• 判据很简单：高速看相对论，微观看量子论，日常尺度用牛顿力学即可。
• 对计算机方向的意义：整个半导体工业（能带、隧穿、激光）都建在量子论之上。

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