物理 · 力学

概念

力学研究物体位置随时间变化的规律，是物理学的第一块基石。它回答三个递进的问题：

• 运动学：物体怎么动（只描述，不问原因）——位移、速度、加速度
• 动力学：为什么这样动（找原因）——力与运动的关系
• 静力学：怎样才不动——受力平衡

一句话区分：运动学是"录像"，动力学是"追责"，静力学是"僵持"。

对计算机方向的人来说，力学还有一层额外意义：它是微分方程与矢量运算最早的应用场景，后面电路分析、信号与系统里的"受力—响应"思维，源头都在这里。

原理

一、运动学：三个匀变速公式

加速度恒定时（匀变速直线运动）：

$$v=v_0+ats=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2{v}^2-v_0^2=2as$$

三个式子共含 $v_0,v,a,t,s$ 五个量，知三求二，这是所有运动学题目的通解。

运动的合成与分解：抛体运动 = 水平方向匀速 + 竖直方向自由落体，两方向独立互不相干，用时间 $t$ 当桥梁联系。

圆周运动：速度方向时刻在变，一定有向心加速度 $a_n={\displaystyle \frac{v^2}{r}}={\omega }^{2}r$，指向圆心；它只改变速度方向，不改变大小。

二、牛顿三定律

定律	内容	要点
第一定律（惯性）	不受外力时保持静止或匀速直线	定义了惯性系；力不是维持运动的原因
第二定律	$F_{\mathrm{合}}=ma$（更普遍的形式是 $F={\displaystyle \frac{dp}{dt}}$）	矢量式、瞬时式、$F$ 是合外力
第三定律	作用力与反作用力等大反向	作用在两个不同物体上，不能抵消

常见力：

• 重力 $G=mg$（$g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$）
• 弹簧弹力（胡克定律）$F=kx$
• 滑动摩擦力 $f=\mu N$；静摩擦力 $0\le f_s\le {\mu }_{s}N$，大小由平衡条件决定
• 万有引力 $F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$

三、两条守恒线：能量 与 动量

这是力学的核心分岔，解题时先判断走哪条：

	能量线	动量线
核心量	动能 $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$、重力势能 $E_p=mgh$	动量 $p=mv$
定理	动能定理 $W_{\mathrm{合}}=\mathrm{\Delta }{E}_k$	动量定理 $I=Ft=\mathrm{\Delta }p$
守恒条件	只有重力/弹力做功（无摩擦、无介质阻力）	系统所受合外力为零
典型场景	斜面下滑、弹簧振子	碰撞、爆炸、反冲

功的定义 $W=Fs\cos \theta$，其中 $\theta$ 是力与位移的夹角——力与位移垂直时不做功（向心力永远不做功，这是常考的一条）。

四、刚体转动（了解）

力让物体平动，力矩让物体转动：$M=rF\sin \theta$，$M=I\alpha$，$L=I\omega$。角动量守恒（合外力矩为零）解释了花样滑冰收臂转速变快。

示例

例 1：斜面上的滑块（完整计算）

质量 $m=2\text{kg}$ 的滑块从静止沿倾角 $\theta ={30}^{\circ }$ 的斜面下滑，动摩擦因数 $\mu =0.2$，取 $g=9.8{\text{m/s}}^2$。求加速度与 3 秒内的位移、末速度。

第一步：受力分解（沿斜面 / 垂直斜面建立坐标）

• 垂直斜面方向：$N=mg\cos \theta$（无加速度，平衡）
• 沿斜面方向：$mg\sin \theta$ 向下，滑动摩擦 $f=\mu N=\mu mg\cos \theta$ 向上

第二步：列牛顿第二定律方程

$$ma=mg\sin \theta -\mu mg\cos \theta \Rightarrow a=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )$$

第三步：代数值

$$\sin {30}^{\circ }=0.5,\cos {30}^{\circ }\approx 0.866$$$$a=9.8\times (0.5-0.2\times 0.866)=9.8\times (0.5-0.1732)=9.8\times 0.3268\approx 3.20{\text{m/s}}^2$$

第四步：运动学求位移与速度

$$s=\frac{1}{2}a{t}^2=0.5\times 3.20\times 3^2\approx 14.4\text{m},v=at=3.20\times 3=9.6\text{m/s}$$

校验（走能量线）：重力做功 $mgh=mgs\sin \theta =2\times 9.8\times 14.4\times 0.5\approx 141\text{J}$；摩擦生热 $\mu mg\cos \theta \cdot s\approx 49\text{J}$；剩余 $92\text{J}$ 应等于 $\frac{1}{2}m{v}^2=0.5\times 2\times {9.6}^2\approx 92\text{J}$。两条线对得上，结果自洽。

例 2：完全非弹性碰撞（动量守恒）

$m_1=1\text{kg}$ 以 $v_1=4\text{m/s}$ 撞上静止的 $m_2=3\text{kg}$，碰后粘在一起。

$$m_1{v}_1=(m_1+m_2)v^{\prime }\Rightarrow v^{\prime }=\frac{1\times 4}{1+3}=1\text{m/s}$$

动能变化：

$$E_{\mathrm{前}}=\frac{1}{2}\times 1\times 4^2=8\text{J},E_{\mathrm{后}}=\frac{1}{2}\times 4\times 1^2=2\text{J},\mathrm{\Delta }E=6\text{J}$$

动量守恒但机械能损失 6 J（转为内能/形变）。凡是"粘在一起""子弹穿入木块"这类题，默认走动量线，不要用机械能守恒。

用代码验算一遍

想让上面两例的算术不再靠手，几行 Python 就够：

import math

# 例 1：斜面滑块
g, theta, mu, m, t = 9.8, math.radians(30), 0.2, 2.0, 3.0
a = g * (math.sin(theta) - mu * math.cos(theta))
s, v = 0.5 * a * t**2, a * t
print(f"a={a:.2f} m/s^2  s={s:.1f} m  v={v:.1f} m/s")

# 能量校验
print(f"重力做功={m*g*s*math.sin(theta):.0f} J  摩擦生热={mu*m*g*math.cos(theta)*s:.0f} J  "
      f"末动能={0.5*m*v**2:.0f} J")

# 例 2：完全非弹性碰撞
m1, v1, m2 = 1.0, 4.0, 3.0
vp = m1 * v1 / (m1 + m2)
print(f"碰后速度={vp:.1f} m/s  动能损失={0.5*m1*v1**2 - 0.5*(m1+m2)*vp**2:.0f} J")

要点

要点与常见误区

1. 摩擦力方向阻碍的是"相对运动（趋势）"，不是"运动"。人走路时地面给脚的静摩擦力向前，是前进的动力；传送带上物体被带动靠的也是摩擦力。
2. 静摩擦力不是 $\mu N$。${\mu }_{s}N$ 只是它的最大值，实际大小由平衡条件解出来；物体没动时千万别直接套 $f=\mu N$。
3. $F=ma$ 的 $F$ 必须是合外力，且是矢量，一般要正交分解到两个方向分别列式。
4. 先选路线再列式：有摩擦、有外力做功 → 动能定理；碰撞、爆炸、反冲、作用时间极短 → 动量守恒。两者守恒条件不同，常常一动量守恒一能量不守恒。
5. 向心力不做功，因为它始终与速度垂直；匀速圆周运动动能不变，但动量在变（方向变了）。
6. 超重与失重看加速度方向，不看运动方向：加速度向上 → 视重大于重力（超重）；$a=g$ 向下 → 完全失重，此时重力依然存在，只是支持力为零。
7. 单位先统一成 SI（m、kg、s），这是最省时间的一步，也是最常见的失分点。

小结

• 力学三问：运动学描述"怎么动"，动力学解释"为何动"，静力学处理"何时不动"。
• 匀变速三公式知三求二；抛体与圆周都靠分解处理。
• 解题主线只有两条：能量线（看做功）与动量线（看合外力），先判条件再选公式。
• 每道题养成一个习惯：算完用另一条线校验一遍，两条线对得上才算真的算对。

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