物理 · 热学

概念

热学研究大量分子组成的宏观系统的热现象。它有两套并行的语言：

• 宏观语言（热力学）：温度、热量、内能、熵——不关心单个分子，只看整体，靠实验定律说话
• 微观语言（分子动理论）：把宏观量解释成大量分子运动的统计结果

一句话区分：热力学问"能量去了哪"，分子动理论问"分子在干什么"。

两条热力学定律撑起了全部结论：第一定律管"能量守恒"，第二定律管"过程方向"。第二定律尤其值得记住，它是物理学里少有的"区分过去与未来"的定律。

原理

一、温度与分子动理论

温度的本质是分子平均平动动能的标志：

$$\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$$

其中 $k=1.38\times {10}^{-23}\text{J/K}$ 是玻尔兹曼常数。温度越高，分子平均动能越大——注意是平均，单个分子快慢不一，服从统计分布。

温标	符号	关系
摄氏温标	$t$（℃）	$T=t+273.15$
热力学温标	$T$（K）	最低为 0 K（绝对零度，只能逼近不能达到）

二、理想气体状态方程

$$pV=nRT=NkT$$

其中 $R=8.31\text{J/(mol·K)}$，$n$ 为物质的量（mol），$N$ 为分子数。三个状态量 $p,V,T$ 知二求一；质量一定时还有几个常用推论：

• 等温（$T$ 不变）：$pV = $ 常量（玻意耳定律）
• 等压（$p$ 不变）：$V/T = $ 常量（盖·吕萨克定律）
• 等容（$V$ 不变）：$p/T = $ 常量（查理定律）

三、内能、热量与功

内能 $U$ 是系统内部所有分子动能与势能的总和，是状态量（只看当前状态，与怎么到达无关）。对理想气体，内能只由温度决定。

热量 $Q$ 与 功 $W$ 是过程量（依赖路径）。改变内能只有这两条路：做功（如压缩气体）和热传递（如加热）。

比热容与相变：

$$Q=cm\mathrm{\Delta }t\text{（升温/降温）},Q=mL\text{（相变，温度不变）}$$

水的比热容 $c=4.2\times {10}^3\text{J/(kg·℃)}$ 在常见物质中偏大，所以水是最常用的冷却剂与蓄热介质。

四、热力学第一定律（能量守恒）

$$\mathrm{\Delta }U=Q+W$$

符号约定：系统吸热 $Q>0$，外界对系统做功 $W>0$，内能增加 $\mathrm{\Delta }U>0$。气体被压缩时外界对它做功，$W>0$；气体膨胀对外做功，等价于 $W<0$。

五、热力学第二定律（方向性）

两种等价表述：

• 克劳修斯表述：热量不能自发地从低温物体传到高温物体
• 开尔文表述：不可能从单一热源吸热并把它全部变成功而不引起其他变化（第二类永动机不可能）

也就是说：能量在"量"上守恒，在"质"上有高低之分——机械能、电能是高品质能量，内能是低品质能量，转化过程必然有贬值，这就是熵增。

热机效率与卡诺循环（理想最高效率）：

$$\eta =\frac{W_{\mathrm{有}\mathrm{用}}}{Q_{\mathrm{吸}}}=1-\frac{|Q_{\mathrm{放}}|}{Q_{\mathrm{吸}}},{\eta }_{\mathrm{卡}\mathrm{诺}}=1-\frac{T_{\mathrm{低}\mathrm{温}}}{T_{\mathrm{高}\mathrm{温}}}$$

注意卡诺效率里的温度必须是热力学温度（K），用摄氏度算就错了。

示例

例 1：理想气体的等压膨胀

一定质量理想气体，初态 $p=1.0\times {10}^5\text{Pa}$，$V_1=2.0\text{L}$，$T_1=300\text{K}$。在等压下体积膨胀到 $V_2=3.0\text{L}$。

求末态温度（等压过程 $V/T$ 为常量）：

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\Rightarrow T_2=T_1\frac{V_2}{V_1}=300\times \frac{3.0}{2.0}=450\text{K}=177\text{℃}$$

求气体对外做功：

$$W_{\text{对外}}=p\mathrm{\Delta }V=1.0\times {10}^5\times (3.0-2.0)\times {10}^{-3}=100\text{J}$$

气体膨胀对外做功 100 J，故对外界而言 $W=-100\text{J}$（外界对气体做功为负）。

例 2：卡诺热机效率

一台工作在高温热源 $T_1=600\text{K}$、低温热源 $T_2=300\text{K}$ 之间的热机。

$${\eta }_{max}=1-\frac{300}{600}=50\mathrm{\%}$$

若它从高温热源吸热 $Q_{\mathrm{吸}}=2000\text{J}$，则：

$$W_{max}=\eta Q_{\mathrm{吸}}=0.5\times 2000=1000\text{J},Q_{\mathrm{放}}=2000-1000=1000\text{J}$$

想提高效率，只有两条路：拉大 $T_1$ 与 $T_2$ 的温差，或提高 $T_1$。现实热机效率远低于卡诺效率（摩擦、散热、非准静态过程），汽车发动机约 30%–40%，这就是"能量守恒却仍然要节能"的原因——守恒的是总量，浪费掉的是可用性。

用代码验算

R = 8.31

# 例 1：等压膨胀
p, V1, T1, V2 = 1.0e5, 2.0e-3, 300.0, 3.0e-3
T2 = T1 * V2 / V1
W_out = p * (V2 - V1)
print(f"T2 = {T2:.0f} K = {T2 - 273.15:.0f} ℃，气体对外做功 {W_out:.0f} J")

# 例 2：卡诺效率
T_h, T_c, Q_in = 600.0, 300.0, 2000.0
eta = 1 - T_c / T_h
print(f"卡诺效率 = {eta:.0%}，最大输出功 = {eta * Q_in:.0f} J，放热 = {Q_in * (1 - eta):.0f} J")

# 顺便算物质的量：n = pV / RT
print(f"n = {p * V1 / (R * T1):.4f} mol")

要点

要点与常见误区

1. 内能是状态量，热量和功是过程量。"物体含有多少热量"是错误说法——热量只在传递过程中有意义，说"吸收了多少热"才对。
2. 温度高的物体内能不一定大。 内能还与物质的量、物态有关；一杯 100 ℃ 的水内能可能小于一池 30 ℃ 的水。
3. 相变过程吸热但温度不变：冰熔化、水沸腾时吸收的热量全用于改变分子势能，不是升温。
4. 做功也能改变内能，不一定要加热：压缩气体升温（柴油机压燃）、摩擦生热都是这条路。
5. 第一定律不能判定方向，第二定律才能。 热量自发从高温流向低温，反过来不禁止但必须付出代价（冰箱要耗电）。
6. 卡诺效率公式里的温度必须用开尔文，代入摄氏度会得到荒谬结果。
7. 绝对零度不可达到（热力学第三定律）；0 K 时分子并非"完全静止"，量子力学还有零点能。
8. 热传递三种方式：传导（需要介质接触）、对流（靠流体流动）、辐射（不需要介质，真空中唯一方式，太阳热量即由此而来）。

小结

• 温度是分子平均平动动能的标志；理想气体靠 $pV=nRT$ 串起 $p,V,T$ 三个状态量。
• 改变内能只有两条路：做功与热传递，第一定律 $\mathrm{\Delta }U=Q+W$ 是能量守恒在热现象中的表达。
• 第二定律给出方向：能量守恒但品质下降，热机效率永远到不了 100%。
• 计算时先判过程类型（等温 / 等压 / 等容 / 绝热），再选对应公式，温度一律换算成 K。

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