半导体物理基础

概念

半导体是导电能力介于导体与绝缘体之间、且导电能力可以被人为调控的材料。

注意后半句才是重点：铜的导电性你改不了，玻璃的你也改不了，而硅的导电性可以在 ${10}^{-3}$ 到 ${10}^3$ S/cm 之间跨越六个数量级地调节——"可控"才是半导体的全部价值。整条【由硅到 C】链条的起点，就是这一个字：控。

一句话：导体是"天生通"，绝缘体是"天生断"，半导体是**"通断由我说了算"**。

原理

硅原子：四价 + 共价键

硅（Si）原子序数 14，最外层 4 个价电子。单晶硅中每个原子与相邻 4 个原子共用电子对，形成共价键，构成金刚石晶格。

        Si —— Si —— Si
        |     |     |
        Si —— Si —— Si       每个键 = 一对共用电子
        |     |     |
        Si —— Si —— Si       理想 0 K 时，所有电子都被键"锁死"

在 0 K 的完美晶体里，没有可以自由移动的电荷，硅表现为绝缘体。

能带：为什么温度一高就导电

量子力学把电子的能量限制在一些允许带上，带与带之间是禁带（电子不能待的能量区间）。

能量 ↑
      ┌─────────────┐
      │   导带 CB    │  ← 电子进来就能自由移动导电
      │  (空)        │
      ├─────────────┤
      │   禁带 Eg    │  ← 宽度决定材料是导体/半导体/绝缘体
      │  Si: 1.12 eV │
      ├─────────────┤
      │   价带 VB    │  ← 被共价键电子填满
      │  (满)        │
      └─────────────┘

• 价带：低温下被填满，满带不导电（电子无处可去）。
• 导带：电子一旦获得足够能量跨过禁带进入导带，就能自由移动。
• 禁带宽度 $E_g$：这是材料分类的唯一判据。

材料	$E_g$（300 K）	类别
铜（金属）	0（价带导带重叠）	导体
锗 Ge	0.67 eV	半导体
硅 Si	1.12 eV	半导体
砷化镓 GaAs	1.42 eV	半导体
二氧化硅 SiO₂	≈ 9 eV	绝缘体

本征激发：温度不为零时，少数价电子获得热能跃迁到导带，同时在价带留下一个空穴。

$$\text{电子-空穴对}：e^{-}(\text{导带})+h^{+}(\text{价带})$$

关键点：电子和空穴成对产生、成对消失。空穴不是真实粒子，它是"价带电子跑掉后留下的空位"，但把它当成带 +q 电荷的载流子来处理，一切都自洽。

本征硅在 300 K 的载流子浓度：

$$n_i\approx 1.5\times {10}^{10}{\text{cm}}^{-3}$$

对比一下：硅原子密度约 $5\times {10}^{22}{\text{cm}}^{-3}$。也就是说大约每 3 万亿个硅原子里才有 1 对载流子——本征硅导电能力极差，几乎没用。

掺杂：真正让硅有用的一步

往纯硅里掺入极少量（百万分之一量级）杂质原子，导电能力立刻提升几个数量级。

N 型（掺 5 价元素，如磷 P、砷 As）

        Si —— Si —— P —— Si
        |     |     |     |
        Si —— Si —— Si —— Si
                    ↑
        磷有 5 个价电子，4 个成键，多余的 1 个
        几乎不受束缚 → 室温下就是自由电子

• 杂质叫施主（donor），浓度记 $N_D$
• 多子 = 电子，少子 = 空穴

P 型（掺 3 价元素，如硼 B）

        Si —— Si —— B —— Si
        |     |     |     |
        Si —— Si —— Si —— Si
                    ↑
        硼只有 3 个价电子，4 个键里缺 1 个 → 空穴

• 杂质叫受主（acceptor），浓度记 $N_A$
• 多子 = 空穴，少子 = 电子

两条必须会用的定律

（1）质量作用定律（热平衡下恒成立）

$$n\cdot p=n_i^2$$

无论掺什么、掺多少，电子浓度与空穴浓度的乘积恒定。所以掺杂在抬高多子的同时，会按比例压低少子。

（2）电中性方程

$$n+N_A=p+N_D$$

负电荷（电子 + 受主离子）总量 = 正电荷（空穴 + 施主离子）总量。

载流子的两种运动

运动	驱动	电流方向	出现在
漂移 drift	电场	电子逆电场、空穴顺电场（两者形成的电流同向）	外加了电压
扩散 diffusion	浓度梯度	从高浓度流向低浓度	掺杂不均处（如 PN 结界面）

扩散不靠电场驱动，这是初学时最反直觉的一点——下一章的 PN 结，正是从扩散开始的。

温度特性（与金属相反）

	温度升高时	原因
金属	电阻变大	晶格振动加剧，阻碍电子
半导体	电阻变小	本征激发加剧，载流子变多

这条差异是实际电路的麻烦来源：温度越高，本征载流子越多，掺杂带来的"可控性"越差，到某个温度半导体就"失效"了（硅器件上限约 150–200 ℃）。

示例

例 1：掺磷硅的载流子浓度（完整计算）

在 300 K 的硅中掺入磷，施主浓度 $N_D={10}^{16}{\text{cm}}^{-3}$。设杂质全部电离，$n_i=1.5\times {10}^{10}{\text{cm}}^{-3}$。求电子浓度 $n_0$、空穴浓度 $p_0$。

第一步：判断多子。

掺 5 价的磷 → N 型 → 多子是电子。

第二步：求电子浓度。

室温下施主基本全部电离，且 $N_D\gg n_i$（${10}^{16}\gg 1.5\times {10}^{10}$），本征激发贡献可忽略：

$$n_0\approx N_D={10}^{16}{\text{cm}}^{-3}$$

第三步：用质量作用定律求少子。

$$p_0=\frac{n_i^2}{n_0}=\frac{(1.5\times {10}^{10}{)}^2}{{10}^{16}}=\frac{2.25\times {10}^{20}}{{10}^{16}}=2.25\times {10}^4{\text{cm}}^{-3}$$

结论：多子电子 ${10}^{16}$，少子空穴 $2.25\times {10}^4$。

二者相差 11 个数量级。这就是"多子/少子"这个名字的分量：少子虽然真实存在（后面双极型器件靠它工作），但在导电这件事上完全可以忽略。

例 2：算电阻率（完整计算）

承接例 1，设 ${\mu }_n=1350{\text{cm}}^2/\text{V·s}$，${\mu }_p=480{\text{cm}}^2/\text{V·s}$，$q=1.6\times {10}^{-19}\text{C}$。求电导率 $\sigma$ 与电阻率 $\rho$。

第一步：代入电导率公式。

$$\sigma =q(n{\mu }_n+p{\mu }_p)$$$$\begin{array}{rl}n{\mu }_n& ={10}^{16}\times 1350=1.35\times {10}^{19}\\ p{\mu }_p& =2.25\times {10}^4\times 480=1.08\times {10}^7\end{array}$$

第二步：判断哪一项可忽略。

$1.35\times {10}^{19}\gg 1.08\times {10}^7$，少子项差 12 个数量级，直接扔掉。

$$\sigma =1.6\times {10}^{-19}\times 1.35\times {10}^{19}=2.16\text{S/cm}$$

第三步：取倒数。

$$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{1}{2.16}\approx 0.46\mathrm{\Omega }\cdot \text{cm}$$

结论：电阻率约 $0.46\mathrm{\Omega }\cdot \text{cm}$。

对比参考：本征硅约 $2.3\times {10}^5\mathrm{\Omega }\cdot \text{cm}$，铜约 $1.7\times {10}^{-6}\mathrm{\Omega }\cdot \text{cm}$。掺了百万分之一的磷，硅的电阻率下降了 6 个数量级，但仍比铜差 5 个数量级——所以它当开关用，不当导线用。

用程序复算

#include <stdio.h>
#include <math.h>

/* 已知掺杂浓度，输出多子/少子浓度与电阻率 */
int main(void) {
    double q   = 1.6e-19;      /* 电子电荷 C */
    double ni  = 1.5e10;       /* 本征载流子浓度 cm^-3 */
    double un  = 1350.0;       /* 电子迁移率 */
    double up  = 480.0;        /* 空穴迁移率 */
    double ND  = 1e16;         /* 施主浓度 */

    double n0 = ND;            /* N 型：多子≈施主浓度 */
    double p0 = ni * ni / n0;  /* 质量作用定律 */

    double sigma = q * (n0 * un + p0 * up);

    printf("n0 = %.3e cm^-3\n", n0);
    printf("p0 = %.3e cm^-3\n", p0);
    printf("sigma = %.3f S/cm\n", sigma);
    printf("rho   = %.3f ohm*cm\n", 1.0 / sigma);
    printf("相比本征硅提升 %.0f 倍\n", sigma / (q * ni * (un + up)));
    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

q, ni, un, up = 1.6e-19, 1.5e10, 1350.0, 480.0
ND = 1e16

n0 = ND                 # N 型多子
p0 = ni ** 2 / n0       # 质量作用定律
sigma = q * (n0 * un + p0 * up)

print(f"n0    = {n0:.3e} cm^-3")
print(f"p0    = {p0:.3e} cm^-3")
print(f"sigma = {sigma:.3f} S/cm")
print(f"rho   = {1/sigma:.3f} ohm*cm")
print(f"本征硅 rho = {1/(q*ni*(un+up)):.3e} ohm*cm")

python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

输出：n0 = 1.000e+16、p0 = 2.250e+04、sigma = 2.160 S/cm、rho = 0.463 Ω·cm。

考点

考点

1. 判据：什么决定导体/半导体/绝缘体

只看禁带宽度 $E_g$，不看电阻率数值。$E_g=0$（能带重叠）是导体，$E_g$ 大（> 5 eV）是绝缘体，中间是半导体。硅的 1.12 eV 要记住。

2. 必背结论

• 本征硅：$n=p=n_i$，$\sigma$ 极小，$n_i\approx 1.5\times {10}^{10}{\text{cm}}^{-3}$（300 K）。
• N 型：掺 5 价（P/As/Sb），多子电子，$n_0\approx N_D$，$p_0=n_i^2/N_D$。
• P 型：掺 3 价（B/Ga/In），多子空穴，$p_0\approx N_A$，$n_0=n_i^2/N_A$。
• 质量作用定律 $np=n_i^2$ 与电中性 $n+N_A=p+N_D$ 联立，可解任意掺杂情形。

3. 易错点

• 空穴不是质子、不是正电子。它是价带电子集体运动的等效描述，带 +q，但只在晶体里才有意义。
• 掺杂整体是电中性的。N 型硅里有自由电子，同时也有等量固定不动的正施主离子，材料不带电。
• 温度升高，半导体电阻下降（与金属相反）；温度高到本征激发压过掺杂时，器件失效。
• 多子由掺杂决定，少子由 $n_i^2$ 决定。少子极端敏感于温度——这正是半导体器件温漂的根源。
• 迁移率 ${\mu }_n>{\mu }_p$（电子比空穴跑得快，约 3 倍），后面会看到它直接导致"NAND 门比 NOR 门快"。

小结

• 半导体的本质是导电性可控，判据是禁带宽度 $E_g$（硅 1.12 eV）。
• 本征激发成对产生电子与空穴；本征硅载流子极少，几乎不导电。
• 掺 5 价得 N 型（多子电子），掺 3 价得 P 型（多子空穴）；$np=n_i^2$ 恒定。
• 掺杂能把硅的电阻率压低 6 个数量级——这是"开关"得以实现的前提。
• 往上走一层：把 P 型和 N 型做在同一块晶体上，交界处会发生什么？那就是下一章的 PN 结。

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