计量经济学基础

概念

计量经济学用统计方法给经济关系"估个数"：教育多一年，工资涨多少？利率降一个点，投资增多少？它也负责检验经济理论与做预测。

它面对的根本难题只有一句：

相关不等于因果。

冰淇淋销量与溺水人数高度正相关，但吃冰淇淋不会导致溺水——两者都由"气温"推动。计量经济学的绝大部分技术，都是为了回答一个问题：我看到的这个相关，能不能读成因果？

按目的分，计量工作有三类，对技术的要求完全不同：

目的	要什么	对因果的要求
描述	变量间的关联形态	不要求
预测	样本外误差小	不要求（只要能预测）
因果推断	估计"如果干预会怎样"	必须处理内生性

把"预测得好"当成"找到了因果"是最常见、也最贵的错误。

原理

简单线性回归与最小二乘

设模型为

$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+u_i$$

其中 $u$ 是误差项（所有未被 $x$ 解释的因素之和）。我们要找一条直线，让它"最贴近"数据点。

最小二乘法（OLS）的选择标准是：让残差平方和最小——用平方而不是绝对值，是为了让函数可导、有唯一的显式解。

设 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1$ 为估计值，${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ 为拟合值，残差 $e_i=y_i-{\hat{y}}_i$。最小化 $S=\sum e_i^2$ 对两个参数求偏导并令其为零（一阶条件），得到

$${\hat{\beta }}_1=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2},{\hat{\beta }}_0=\overline{y}-{\hat{\beta }}_1\overline{x}$$

最优条件的直觉与微观经济学的 $MR=MC$ 完全同构：在最优点上，再动一点点带来的收益为零（见微观经济学）。数学上，OLS 就是在 $x$ 张成的子空间上做正交投影——这也是它与线性代数的直接连接。

拟合优度：R² 与它的陷阱

三个平方和：

• SST（总平方和）$=\sum (y_i-\overline{y}{)}^2$：因变量的全部波动；
• SSE（残差平方和）$=\sum e_i^2$：模型没解释的部分；
• SSR（回归平方和）$=\sum ({\hat{y}}_i-\overline{y}{)}^2$：模型解释了的部分。

$$SST=SSR+SSE,R^2=1-\frac{SSE}{SST}=\frac{SSR}{SST}$$

$R^2$ 是"被解释的波动比例"，取值 $0\sim 1$。

术语警告：不同教材对 SSE/SSR 的写法完全相反（有的把 SSE 当"解释平方和"）。读论文时先看定义，别看缩写。

R² 的三个陷阱：

1. 加变量必然提高 $R^2$（哪怕那个变量毫无意义），所以比较不同变量数的模型要用调整 $R^2$；
2. $R^2$ 高 ≠ 因果成立。冰淇淋与溺水可以有很高 $R^2$；
3. 因果推断看系数与标准误，不看 $R^2$。

统计推断：系数到底"显著"吗

• 残差方差的无偏估计：$s^2={\displaystyle \frac{SSE}{n-k-1}}$（简单回归时 $k=1$，即除以 $n-2$）；
• 斜率的标准误：$SE({\hat{\beta }}_1)=\sqrt{{\displaystyle \frac{s^2}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}}}$；
• t 统计量：$t={\displaystyle \frac{{\hat{\beta }}_1}{SE({\hat{\beta }}_1)}}$，自由度 $n-k-1$；
• 95% 置信区间：${\hat{\beta }}_1\pm t_{0.025}\cdot SE({\hat{\beta }}_1)$。

判读规则：$|t|$ 大于临界值 → 拒绝"系数为零"的原假设。注意措辞："不拒绝 $H_0$"不等于"证明 $H_0$ 成立"——数据没提供足够证据，不等于证明了没有效应（同一逻辑见概率论与数理统计）。

内生性：四个来源

如果 $E(u\mid x)\ne 0$，OLS 估计就是有偏的。四种常见来源：

来源	例子	后果
遗漏变量	估教育回报却没控制"能力"	偏误方向取决于被遗漏项与 $x$ 的相关
双向因果（联立）	警力↑→犯罪↓，但犯罪↑→警力↑	系数被双向效应混合
测量误差	自报收入有误	自变量测量误差导致衰减偏误（系数被低估）
选择偏差	只观测到在职者的工资	样本不随机

遗漏变量偏误的量化公式（真模型为 $y={\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+u$，却只回归 $x_1$）：

$$\text{plim}{\hat{\beta }}_1={\beta }_1+{\beta }_2\cdot \delta$$

其中 $\delta$ 是"把被遗漏的 $x_2$ 对 $x_1$ 回归"得到的系数。两个因子任一为零，偏误就为零——这就是"控制变量"为什么有用。

因果识别的工具箱

方法	核心思想	关键假定
随机实验（RCT）	随机分配处理，两组在期望上无差异	随机化成功、无失访偏误
工具变量（IV）	找一个只通过 $x$ 影响 $y$ 的外生变量 $z$	相关性（$z$ 影响 $x$）+ 外生性/排除限制（$z$ 不直接影响 $y$）
双重差分（DID）	处理组前后变化 − 对照组前后变化	平行趋势（无处理时两组趋势相同）
断点回归（RDD）	利用某个阈值两侧的"准随机"差异	在断点附近个体可比、无操纵

RCT 是金标准，但常不可行或不道德（不能随机让人吸烟）；于是准实验方法（DID / RDD / IV）成了实证经济学的主力。每种方法都靠一条不可完全检验的假定——所以论文写作的核心工作是为那条假定找证据（如 DID 的"事前趋势检验"）。

常见诊断（它们影响的是标准误，不是系数）

• 多重共线性：自变量高度相关 → 系数估计变得不稳定（方差膨胀），但不导致偏误；
• 异方差：残差方差随 $x$ 变化 → OLS 系数仍无偏，但标准误公式失效，需用稳健标准误；
• 自相关：时间序列中残差相关 → 同样主要影响标准误。

示例

例 1：一次完整的 OLS 手算

样本 $n=5$，数据如下：

$i$	$x$	$y$	$x-\overline{x}$	$y-\overline{y}$	乘积	$(x-\overline{x}{)}^2$
1	1	2	−2	−2	4	4
2	2	4	−1	0	0	1
3	3	5	0	1	0	0
4	4	4	1	0	0	1
5	5	5	2	1	2	4
合计					6	10

$\overline{x}=3$，$\overline{y}=4$。于是

$${\hat{\beta }}_1=\frac{6}{10}=0.6,{\hat{\beta }}_0=4-0.6\times 3=2.2$$

回归方程：$\hat{y}=2.2+0.6x$。含义是：$x$ 每增加 1 单位，$y$ 平均增加 0.6 单位。

例 2：R²、标准误与 t 检验

用例 1 的方程算拟合值 $\hat{y}=[2.8,3.4,4.0,4.6,5.2]$，残差 $e=[-0.8,0.6,1.0,-0.6,-0.2]$（和为 0，这是 OLS 含截距项的必然结果，可作自检）。

• $SSE=0.64+0.36+1.00+0.36+0.04=2.4$
• $SST=4+0+1+0+1=6.0$
• $SSR=6.0-2.4=3.6$

$$R^2=1-\frac{2.4}{6.0}=0.6=\frac{3.6}{6.0}(\text{两式一致 ✓})$$

推断：

• $s^2={\displaystyle \frac{2.4}{5-2}}=0.8$
• $SE({\hat{\beta }}_1)=\sqrt{{\displaystyle \frac{0.8}{10}}}=0.2828$
• $t={\displaystyle \frac{0.6}{0.2828}}=2.1213$，自由度 $df=5-2=3$

$df=3$、双尾 5% 的临界值约为 3.182。因为 $|t|=2.1213<3.182$，不能拒绝"斜率为零"的原假设。

$$95\mathrm{\%}\text{置信区间}=0.6\pm 3.182\times 0.2828=[-0.3,1.5]$$

区间跨过 0，与"不显著"的结论一致。

这个例子极有教益：$R^2=0.6$ 看起来"解释力不错"，$x$ 与 $y$ 肉眼也明显同向，但因为样本只有 5 个，标准误很大，统计上什么都证明不了。"看上去很明显"与"统计上站得住"是两回事。

例 3：遗漏变量偏误有多大

真关系：工资对教育年限的系数 ${\beta }_1=0.08$（每多一年教育，工资高 8%），"能力"的系数 ${\beta }_2=0.05$。教育与能力的相关系数导致 $\delta =0.4$（把能力对教育回归）。

若回归中遗漏能力：

$$\text{plim}{\hat{\beta }}_1=0.08+0.05\times 0.4=0.10$$

估计值 0.10 比真值 0.08 高 25%——凭"教育回报很高"下政策结论，可能高估了四分之一。这也解释了为什么"加控制变量后系数变小"是实证论文里最常见的现象：被控制的变量本来就在"冒领"一部分功劳。

例 4：双重差分（DID）的算法

某政策只在 A 地实施，观察政策前后两地的指标：

组别	政策前	政策后	变化
处理组 A	10	16	+6
对照组 B	12	14	+2

DID 估计量 = 处理组变化 − 对照组变化 = 6 − 2 = 4。

为什么要减对照组：A 地即使没有政策也可能因为大盘因素增长 2；减去对照组的 2，剩下的 4 才是政策的净效应。这条思路的关键假定是"平行趋势"——如果没有政策，A 地的变化本该与 B 地相同。

例 5：辛普森悖论——分层结论与合并结论相反

经典的肾结石治疗对比（甲、乙两种疗法，按结石大小分层）：

分层	甲疗法	乙疗法	比较
小结石	81/87 = 93.10%	234/270 = 86.67%	甲胜
大结石	192/263 = 73.00%	55/80 = 68.75%	甲胜
合并	273/350 = 78.00%	289/350 = 82.57%	乙胜

两个分层都是甲更好，合并起来却是乙更好。原因是分层构成不同：乙疗法主要用于小结石（270 例中 270 例是小结石），而甲疗法承担了更多难治的大结石病例。

它给出的教训："是否控制分层变量"会直接改变结论，而选出该控制哪些变量正是计量经济学的核心工作。这也从反面说明："我数据量大"救不了这个问题——两组样本量完全相同（各 350 例），偏误来自结构而非规模。

要点

要点与常见误区

1. OLS 的斜率公式分子分母都带"离差"，写公式时别漏掉 $\overline{x}$、$\overline{y}$；露掉就变成"原点回归"。
2. 含截距的回归，残差和恒为 0。这是免费的自检项，算完先看它。
3. 加变量 $R^2$ 必升，所以比较模型要用调整 $R^2$；而且 $R^2$ 与因果毫无关系。
4. "不显著" ≠ "效应为零"。它只说明"以这个样本、这个精度，看不出区别"（例 2 就是典型：$R^2=0.6$ 仍不显著）。
5. 标准误比系数更容易出错。异方差、自相关、聚类相关都会让标准误公式失效，系数看着没变，显著性却真假难辨。
6. 多重共线性不会造成偏误，只让估计变得不稳定。"变量不显著"不能直接推断为"变量没用"。
7. 遗漏变量偏误的方向可推：看"被遗漏项与自变量的相关"与"被遗漏项对 $y$ 的系数"，两者同号则高估、异号则低估。
8. 工具变量必须同时满足相关性与排除限制。排除限制不可直接检验，只能靠制度背景与论证——这是 IV 论文最容易被攻击的地方。
9. DID 的命门是平行趋势。事前趋势检验是必备动作；处理组与对照组"本来就在分化"时，DID 结果无意义。
10. 相关、预测、因果是三件事。机器学习模型预测力再强，也不自动给出因果（冰淇淋模型能预测溺水，但干预它没有用）。

小结

• 计量经济学三个目的：描述、预测、因果推断；只有第三个必须处理内生性。
• OLS 让残差平方和最小；${\hat{\beta }}_1={\displaystyle \frac{\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sum (x-\overline{x}{)}^2}}$、${\hat{\beta }}_0=\overline{y}-{\hat{\beta }}_1\overline{x}$——本质是线性代数里的正交投影。
• 算例：$n=5$、$x=[1,2,3,4,5]$、$y=[2,4,5,4,5]$ → ${\hat{\beta }}_1=0.6$、${\hat{\beta }}_0=2.2$；$SSE=2.4$、$SST=6.0$、$R^2=0.6$。
• 推断：$s^2=0.8$、$SE=0.2828$、$t=2.1213$、$df=3$、临界 3.182 → 不显著；95% 区间 $[-0.3,1.5]$ 跨过 0。$R^2$ 高不代表显著，更不代表因果。
• 内生性四来源：遗漏变量、双向因果、测量误差、选择偏差；遗漏变量偏误可量化，算例中 0.08 → 0.10（高估 25%）。
• 因果识别四工具：RCT（金标准）、IV（相关性 + 排除限制）、DID（平行趋势，算例 DID = 6 − 2 = 4）、RDD（断点）。
• 辛普森悖论：甲疗法分层 93.10% / 73.00% 全胜，合并 78.00% 却输给 82.57%——控制什么变量，就是结论本身。

经济三章到此收束：微观 讲个体如何最优、宏观 讲总量与政策、本篇讲如何用数据把这些结论撑住。三者共用同一条底线——把口径说清楚，把条件写出来。 回经济总览。

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