电路分析基础：电压电流、KCL/KVL、戴维南等效

概念

电路分析要解决的问题只有一句话：给定电路结构和元件参数，求各处的电压与电流。

它只需要两样东西：

1. 元件的 $V$–$I$ 关系（对电阻就是欧姆定律）
2. 连接的拓扑约束（KCL 与 KVL）

有这两样，任何线性电阻电路都能解出来——剩下的只是"用哪套办法算得更快"。

本篇是 L1 的软前置：不看它也能学后面，但看了它，你才会明白后面那些"上拉电阻取 10 kΩ""分压比 0.7"的数字是从哪算出来的。

原理

一、电压、电流与"参考方向"

电流是电荷的定向移动，单位安培（A）。电压是两点间的电势差，单位伏特（V）。

麻烦在于方向。物理上电流方向和电压极性你可能不知道，所以工程上先随便规定一个参考方向，算出来：

• 结果为正 → 真实方向与参考方向一致
• 结果为负 → 真实方向与参考方向相反

这不是"电流为负"，而是"电流和你想的方向反了"。 参考方向是记账的符号约定，不是物理事实。

关联参考方向（passive sign convention）：电流从电压的"+"端流入元件。在这个约定下：

$$P=VI\{\begin{array}{ll}>0& \text{元件}\mathbf{\text{吸收}}\text{功率（负载）}\\ <0& \text{元件}\mathbf{\text{发出}}\text{功率（电源）}\end{array}$$

二、欧姆定律与电阻的串并联

$$V=IR$$

串联（电流相同，电压相加）：

$$R_{eq}=R_1+R_2+\cdots +R_n$$

并联（电压相同，电流相加）：

$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots ,R_1\parallel R_2=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$$

两个必背的实用推论：

$$\text{分压：}{V}_k=V_{total}\cdot \frac{R_k}{\sum R},\text{分流：}{I}_k=I_{total}\cdot \frac{R_{total}}{R_k}$$

分流公式的直觉：并联时电阻小的分到的电流大，所以分子放的是"另一个电阻"（或者放总阻值、分母放本支路阻值）。

电导 $G=1/R$（单位西门子 S）。并联用电导相加最省事：

$$G_{eq}=G_1+G_2+\cdots$$

三、两条定律：KCL 与 KVL

这是电路分析的全部拓扑约束，前者管"结点"，后者管"回路"。

KCL（基尔霍夫电流定律）

任一时刻，流入任一结点的电流之和等于流出的电流之和。 等价说法：流入任一结点的电流代数和为零（$\sum I=0$，按方向定正负）。

物理来源：电荷守恒。结点不积累电荷（否则电位会无限升高）。

$$\sum _k{I}_k=0⟺\sum I_{in}=\sum I_{out}$$

推广到广义结点（高斯面）：把任意一块子电路整个包起来看，进出的电流也相等。这是"运放虚断"等结论的来源。

KVL（基尔霍夫电压定律）

沿任一闭合回路绕行一周，各段电压的代数和为零。

$$\sum _k{V}_k=0$$

物理来源：电场是保守场——绕一圈回到原点，电势必须回到原值。

注意：KVL 的严格成立依赖"集总参数假设"（电路尺寸远小于信号波长）。频率高到导线长度可与波长比拟时（比如 GHz 信号的走线），必须改用传输线理论，KVL 不再直接适用。这一点在后面的 RC 延迟与信号完整性里会再遇到。

四、节点电压法：系统化的解法

思路：不直接求支路电流，而是先求各结点电位，再倒推电流。因为电路有 $n$ 个结点时只有 $n-1$ 个独立电位（总有一个可设为参考点 0 V）。

标准流程：

1. 选一个结点为参考点（接地，V = 0）
2. 对其余每个结点列 KCL 方程（用结点电位表示各支路电流）
3. 解线性方程组
4. 用 V 求各支路电流、再用 P = VI 求功率

单结点（只有一个未知电位）时，方程可以直接写成：

$$V_x\sum _k\frac{1}{R_k}=\sum _k\frac{V_{source,k}}{R_k}$$

左边是"本结点到各邻点的电导和 × 本结点电位"，右边是"每个电源经各自电阻送来的电流"。

五、戴维南与诺顿等效：把复杂电路压成两元件

戴维南定理：

任何线性含源单口网络，对外部而言都可以等效为一个电压源 $V_{oc}$ 串联一个电阻 $R_{th}$。

诺顿定理：同一网络也可以等效为一个电流源 $I_{sc}$ 并联一个电阻 $R_{th}$。

两者是同一件事的两种说法：

$$V_{oc}=I_{sc}\cdot R_{th}$$

求法（三步）：

① 求开路电压 Voc：把端口断开，算端口两端电压
② 求等效电阻 Rth：
     · 独立电压源短路（= 0 V）
     · 独立电流源开路（= 0 A）
     再从端口看进去求等效电阻
③ 画出 Voc 串联 Rth（或 Isc 并联 Rth）

易错：置零的是独立源，受控源不能置零，必须保留并在端口加测试电压/电流求解。

为什么它这么有用：它把"整个电路"对负载的影响压缩成了两个数字。于是你不用每次重新解全电路——换负载只需重算一个分压。

六、最大功率传输

把负载 $R_L$ 接到戴维南等效源上：

$$P_L=I^2{R}_L={\left(\frac{V_{oc}}{R_{th}+R_L}\right)}^2{R}_L$$

对 $R_L$ 求导令其为零，得：

$$\boxed{{\displaystyle R_L=R_{th}}}\Rightarrow P_{max}=\frac{V_{oc}^2}{4R_{th}}$$

此时效率只有 50%——一半功率耗在 $R_{th}$ 上。

工程上要分清两种目标：

• 最大功率传输（$R_L=R_{th}$）：通信、射频、音响功放——要功率。
• 最大效率（$R_L\gg R_{th}$）：电力系统——要省电。给负载用内阻很小的电源。

所以"阻抗匹配"和"电源要内阻小"不矛盾，它们服务于不同目标。

示例

例 1：单结点电路（完整计算）

电源 $V_s=12\text{V}$，经 $R_1=4\mathrm{\Omega }$ 接到结点 A；A 点再经 $R_2=6\mathrm{\Omega }$ 和 $R_3=3\mathrm{\Omega }$ 分别接地。求 $V_A$ 与各支路电流。

        R1 = 4Ω
  ●─────/\/\/──────● A
  │                │
 12V              ┌┴┐ R2 = 6Ω
  │               └┬┘
  ●───────────────●──── 共地
                  │
                 ┌┴┐ R3 = 3Ω
                 └┬┘
                  │
  ────────────────●

第一步：列 KCL。 只有 A 一个未知结点，用"电导和 × 电位 = 源电流"：

$$V_A(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3})=\frac{12}{4}$$

第二步：算括号里。

$$0.25+0.1667+0.3333=0.75$$

第三步：解。

$$V_A=\frac{3}{0.75}=4\text{V}$$

第四步：求各支路电流。

$$I_1=\frac{12-4}{4}=2\text{A},I_2=\frac{4}{6}\approx 0.667\text{A},I_3=\frac{4}{3}\approx 1.333\text{A}$$

第五步：KCL 校验。

$$I_1=I_2+I_3:2=0.667+1.333✓$$

结论：$V_A=4\text{V}$，$I_1=2\text{A}$，$I_2=0.667\text{A}$，$I_3=1.333\text{A}$。

顺便看等效电阻：从 A 点看进去，$R_{in}=R_1\parallel R_2\parallel R_3$？不——$R_1$ 是串联的。从"电源两端"看的等效电阻是 $R_1+(R_2\parallel R_3)$：

$$R_{eq}=4+\frac{6\times 3}{6+3}=4+2=6\mathrm{\Omega }\Rightarrow I_{total}=\frac{12}{6}=2\text{A}✓$$

例 2：双结点电路（完整计算）

电路同上，但在 $R_1$ 之后分出两个结点：$V_s=12\text{V}$ 经 $R_1=6\mathrm{\Omega }$ 到结点 A；A 经 $R_2=3\mathrm{\Omega }$ 接地，又经 $R_3=1\mathrm{\Omega }$ 到结点 B；B 经 $R_4=1\mathrm{\Omega }$ 接地。求 $V_A$、$V_B$ 与各支路电流。

第一步：列两个 KCL 方程。

结点 A：

$$\frac{V_A-12}{6}+\frac{V_A}{3}+\frac{V_A-V_B}{1}=0$$

结点 B：

$$\frac{V_B-V_A}{1}+\frac{V_B}{1}=0$$

第二步：由 B 方程直接得关系。

$$V_B-V_A+V_B=0\Rightarrow 2V_B=V_A\Rightarrow V_B=\frac{V_A}{2}$$

第三步：代入 A 方程。 两边乘 6：

$$(V_A-12)+2V_A+6(V_A-V_B)=0$$

代入 $V_B=V_A/2$：

$$V_A-12+2V_A+6V_A-3V_A=0\Rightarrow 6V_A=12\Rightarrow V_A=2\text{V}$$$$V_B=1\text{V}$$

第四步：求各支路电流。

$$I_{src}=\frac{12-2}{6}=1.6667\text{A},I_{A\to gnd}=\frac{2}{3}=0.6667\text{A},I_{A\to B}=\frac{2-1}{1}=1\text{A},I_{B\to gnd}=\frac{1}{1}=1\text{A}$$

第五步：两处 KCL 校验。

$$\text{A 结点：}1.6667=0.6667+1✓$$$$\text{B 结点：}1=1✓$$

结论：$V_A=2\text{V}$，$V_B=1\text{V}$。

小技巧：多结点电路里，先找一个关系最简单（只有两个电阻分压）的结点，把它写成另一个结点的表达式，再代入。这样从 $2\times 2$ 方程组降成 $1\times 1$。

例 3：戴维南等效与最大功率传输（完整计算）

电路：$V_s=10\text{V}$，$R_1=5\mathrm{\Omega }$ 与 $R_2=5\mathrm{\Omega }$ 串联，从 $R_2$ 两端引出端口 $a$–$b$ 接负载 $R_L$。求戴维南等效、$R_L$ 取何值功率最大、最大功率多少。

        R1 = 5Ω
  ●─────/\/\/──────● a
  │                │
 10V              ┌┴┐  R2 = 5Ω   ← R2 属"网络内部"
  │               └┬┘
  ●───────────────● b
                  │
                 ┌┴┐
                 │RL│           ← 负载接在端口 a-b 上
                 └┬┘
                  │
  ────────────────●

第一步：求开路电压 $V_{oc}$。 断开 $R_L$，$a$–$b$ 间就是 $R_1$、$R_2$ 的分压：

$$V_{oc}=V_s\cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}=10\times \frac{5}{10}=5\text{V}$$

第二步：求等效电阻 $R_{th}$。 把 $V_s$ 短路（置零），从 $a$–$b$ 看进去：

$$R_{th}=R_1\parallel R_2=\frac{5\times 5}{5+5}=2.5\mathrm{\Omega }$$

第三步：扫一遍不同负载。

$R_L$	$V_L=V_{oc}\frac{R_L}{R_{th}+R_L}$	$I_L$	$P_L=V_L{I}_L$
1.0 Ω	1.429 V	1.4286 A	2.0408 W
2.5 Ω	2.500 V	1.0000 A	2.5000 W ← 最大
5.0 Ω	3.333 V	0.6667 A	2.2222 W
10.0 Ω	4.000 V	0.4000 A	1.6000 W

第四步：用公式核对。

$$P_{max}=\frac{V_{oc}^2}{4R_{th}}=\frac{25}{4\times 2.5}=2.5\text{W}✓$$

结论：$V_{oc}=5\text{V}$，$R_{th}=2.5\mathrm{\Omega }$，$R_L=2.5\mathrm{\Omega }$ 时 $P_{max}=2.5\text{W}$。

注意曲线形状：$R_L$ 从 1 Ω 到 10 Ω，功率先升后降，峰值在 $R_L=R_{th}$ 处，两侧下降速度不一样（左侧下降更陡）。这正是 $P\propto R_L/(R_{th}+R_L{)}^2$ 的形状。

不要误推"负载越接近内阻越好"：从效率看，$R_L=R_{th}$ 时效率只有 50%，一半功率白白烧在内阻上。电力系统要的是效率，所以追求 $R_L\gg R_{th}$。

用程序复算

#include <stdio.h>

int main(void) {
    /* --- 例1 单结点 --- */
    printf("--- 例1 单结点 ---\n");
    double Vs = 12.0, R1 = 4.0, R2 = 6.0, R3 = 3.0;
    double G = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3;
    double Va = (Vs/R1) / G;
    printf("  G = %.4f S, Va = %.4f V\n", G, Va);
    printf("  I1 = %.4f A, I2 = %.4f A, I3 = %.4f A\n",
           (Vs-Va)/R1, Va/R2, Va/R3);
    printf("  KCL 校验: %.4f == %.4f -> %s\n",
           (Vs-Va)/R1, Va/R2 + Va/R3,
           ((Vs-Va)/R1 - (Va/R2 + Va/R3)) < 1e-9 ? "OK" : "NG");

    /* --- 例2 双结点 --- */
    printf("--- 例2 双结点 ---\n");
    double Vs2 = 12.0, Ra = 6.0, Rg = 3.0, Rm = 1.0, Rb = 1.0;
    /* Vb = Va*b/(b+m); Va = (Vs/a) / (1/a + 1/g + 1/(m+b)) */
    double VA = (Vs2/Ra) / (1/Ra + 1/Rg + 1/(Rm+Rb));
    double VB = VA * Rb / (Rm + Rb);
    printf("  Va = %.4f V, Vb = %.4f V\n", VA, VB);
    printf("  I_src = %.4f A, I_A_gnd = %.4f A, I_A_B = %.4f A, I_B_gnd = %.4f A\n",
           (Vs2-VA)/Ra, VA/Rg, (VA-VB)/Rm, VB/Rb);

    /* --- 例3 戴维南与最大功率 --- */
    printf("--- 例3 戴维南 ---\n");
    double V3 = 10.0, R3a = 5.0, R3b = 5.0;
    double Voc = V3 * R3b / (R3a + R3b);
    double Rth = R3a * R3b / (R3a + R3b);
    printf("  Voc = %.2f V, Rth = %.2f ohm\n", Voc, Rth);
    double rl[4] = {1.0, 2.5, 5.0, 10.0};
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        double VL = Voc * rl[i] / (Rth + rl[i]);
        double IL = VL / rl[i];
        printf("  RL=%5.1f ohm  VL=%7.3f V  I=%7.4f A  P=%7.4f W\n",
               rl[i], VL, IL, VL * IL);
    }
    printf("  Pmax = Voc^2/(4Rth) = %.4f W, 效率 50%%\n",
           Voc * Voc / (4 * Rth));
    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

print("--- 例1 单结点 ---")
Vs, R1, R2, R3 = 12.0, 4.0, 6.0, 3.0
G = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Va = (Vs/R1) / G
print(f"  G = {G:.4f} S, Va = {Va:.4f} V")
print(f"  I1 = {(Vs-Va)/R1:.4f} A, I2 = {Va/R2:.4f} A, I3 = {Va/R3:.4f} A")
print(f"  KCL 校验: {(Vs-Va)/R1:.4f} == {Va/R2+Va/R3:.4f} -> "
      f"{'OK' if abs((Vs-Va)/R1-(Va/R2+Va/R3)) < 1e-9 else 'NG'}")

print("--- 例2 双结点 ---")
Vs2, Ra, Rg, Rm, Rb = 12.0, 6.0, 3.0, 1.0, 1.0
# KCL@A: (Va-Vs)/a + Va/g + (Va-Vb)/m = 0 ; KCL@B: (Vb-Va)/m + Vb/b = 0
# => Vb = Va*b/(b+m) ; Va = (Vs/a) / (1/a + 1/g + 1/(m+b))
VA = (Vs2/Ra) / (1/Ra + 1/Rg + 1/(Rm+Rb))
VB = VA * Rb / (Rm + Rb)
print(f"  Va = {VA:.4f} V, Vb = {VB:.4f} V")
print(f"  I_src = {(Vs2-VA)/Ra:.4f} A, I_A_gnd = {VA/Rg:.4f} A, "
      f"I_A_B = {(VA-VB)/Rm:.4f} A, I_B_gnd = {VB/Rb:.4f} A")
print(f"  A 结点: {(Vs2-VA)/Ra:.4f} == {VA/Rg+(VA-VB)/Rm:.4f} -> "
      f"{'OK' if abs((Vs2-VA)/Ra-(VA/Rg+(VA-VB)/Rm)) < 1e-12 else 'NG'}")

print("--- 例3 戴维南与最大功率 ---")
V3, R3a, R3b = 10.0, 5.0, 5.0
Voc = V3 * R3b / (R3a + R3b)
Rth = R3a * R3b / (R3a + R3b)
print(f"  Voc = {Voc:.2f} V, Rth = {Rth:.2f} ohm")
for RL in (1.0, 2.5, 5.0, 10.0):
    VL = Voc * RL / (Rth + RL)
    IL = VL / RL
    print(f"  RL={RL:5.1f} ohm  VL={VL:7.3f} V  I={IL:7.4f} A  P={VL*IL:7.4f} W")
print(f"  Pmax = Voc^2/(4Rth) = {Voc**2/(4*Rth):.4f} W, 效率 50%")

python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

输出：

--- 例1 单结点 ---
  G = 0.7500 S, Va = 4.0000 V
  I1 = 2.0000 A, I2 = 0.6667 A, I3 = 1.3333 A
  KCL 校验: 2.0000 == 2.0000 -> OK
--- 例2 双结点 ---
  Va = 2.0000 V, Vb = 1.0000 V
  I_src = 1.6667 A, I_A_gnd = 0.6667 A, I_A_B = 1.0000 A, I_B_gnd = 1.0000 A
  A 结点: 1.6667 == 1.6667 -> OK
--- 例3 戴维南与最大功率 ---
  Voc = 5.00 V, Rth = 2.50 ohm
  RL=  2.5 ohm  VL=  2.500 V  I= 1.0000 A  P= 2.5000 W
  RL= 10.0 ohm  VL=  4.000 V  I= 0.4000 A  P= 1.6000 W
  Pmax = Voc^2/(4Rth) = 2.5000 W, 效率 50%

考点

考点

1. 两条定律的物理来源（别只背公式）

定律	表述	物理来源
KCL	流入结点电流和 = 流出	电荷守恒（结点不积累电荷）
KVL	回路电压代数和 = 0	电场是保守场（绕一圈回到原电位）

两者都只在集总参数假设下严格成立（电路尺寸 $\ll$ 波长）。这一点常以"高频电路为什么不适用"出现。

2. KCL 的广义形式

把任意子电路包成"广义结点"，进出电流仍相等。这是运放虚断（输入电流为 0）等结论的推导前提。

3. 分压 / 分流（必背）

$$V_k=V_{total}\frac{R_k}{\sum R},I_k=I_{total}\frac{R_{other}}{R_k+R_{other}}(\text{两支路})$$

易错：分流时分子放另一支路的电阻（或放总阻值、分母放本支路阻值），不是放本支路电阻。电阻小分到的电流大——用这条常识自检。

4. 节点电压法（计算大题的标准工具）

单结点可直接写：

$$V_x\sum \frac{1}{R_k}=\sum \frac{V_{s,k}}{R_k}$$

步骤口诀：定参考点 → 列 KCL（用电位写电流）→ 解方程 → 回代求电流。结点数 = 未知数个数 = 独立方程数。

5. 戴维南 / 诺顿（★高频）

• 求 $V_{oc}$：端口开路后算电压
• 求 $R_{th}$：独立源置零（电压源短路、电流源开路）后从端口看入
• 两者关系：$V_{oc}=I_{sc}{R}_{th}$
• 受控源不能置零 —— 这是最常见的致命错误。含受控源时必须用"端口加测试源 $V_T/I_T$ 求 $R_{th}=V_T/I_T$"

6. 最大功率传输（★必考）

$$R_L=R_{th}\Rightarrow P_{max}=\frac{V_{oc}^2}{4R_{th}},\text{效率}=50\mathrm{\%}$$

三个必答的辨析：

场景	目标	条件	效率
通信 / 功放 / 射频	要功率	$R_L=R_{th}$	50%
电力传输	要效率	$R_L\gg R_{th}$	接近 100%
电压表 / 示波器测量	要准确	$R_{in}\gg R_{source}$	—

7. 易错点清单

• 把参考方向当真实方向。算出来是负数，不是"电流为负"，是"方向反了"，答案要说明方向。
• 功率符号搞混。用关联参考方向：$P=VI>0$ 是吸收，$<0$ 是发出。
• $R_{th}$ 直接等于"某个电阻"。它是从端口看进去的等效值，可能与任何单个电阻都不相等。
• 并联公式记成 $\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ 却用在三个以上电阻。三个以上要连算或用电导相加。
• 理想电压源短路求 $R_{th}$ 时忘了电流源要开路（反之亦然）。
• 误以为"负载电阻越大，得到的功率越大"。$P$ 在 $R_L=R_{th}$ 处取峰值，再大就掉下来了。
• 测电压时忽略了电压表内阻的分流。高阻电路要用高输入阻抗的仪表（这也是"为什么不直接拿万用表量高阻节点"的原因）。

小结

• 电路分析 = 元件 $V$–$I$ 关系 + KCL/KVL 两个拓扑约束；其余都是解法技巧。
• 参考方向是记账约定，结果为负说明方向相反，不是"负电流"。
• KCL 来自电荷守恒，KVL 来自保守场；两者都依赖集总参数假设。
• 节点电压法是把电路化为线性方程组的通用办法，单结点时可一步写出 $V_x\sum 1/R_k=\sum V_{s,k}/R_k$。
• 戴维南/诺顿等效把任意线性含源单口网络压成"一个源 + 一个电阻"，是后面所有"接口电平""扇出""驱动能力"分析的底座。
• 最大功率传输 $R_L=R_{th}$，$P_{max}=V_{oc}^2/(4R_{th})$，效率 50%；要功率和要效率是两回事。

回到主线：L0 说"MOSFET 是个开关"，L1 要说"这些开关连起来能算什么"。本篇给的是直流/静态的分析工具——能算电平、算分压、算驱动。

但数字电路真正的时间开销不在静态，而在跳变的瞬间：电容要充电，电流要流动，电压要爬升。这就需要下一篇——为什么信号传输有延迟。

下一篇：RC 暂态响应：为什么信号传输有延迟