数据的表示：原码、反码、补码、移码

概念

计算机里所有数最终都变成一串 0 和 1，但同一串 01 可以有两种读法：当作无符号数读，也可以当作有符号数读。"原码、反码、补码、移码"就是有符号数的四种编码约定（coding scheme）——它们回答的是同一个问题：符号怎么放进二进制里。

四者的分工很清楚：

码制	主要用途
原码	直观，人读得懂；不参与运算
反码	求补码的中间过渡
补码	机器的实际运算形式（加减法统一用加法实现）
移码	浮点数的阶码（因为移码比较大小与无符号比较一致）

一句话抓住重点：原码给人看，补码给机器算，移码给阶码比大小。 408 的真主战场是补码。

原理

一、真值与机器数

• 真值（true value）：带正负号的数，如 $-37$、$+1010$。它是人脑子里的数。
• 机器数（machine number）：真正存进寄存器的那串 01，如 11011011。它没有"-"号可用，只能牺牲最高位当符号位。

设字长为 $n$，则最高位（MSB，most significant bit）为符号位：0 表示正，1 表示负；剩下 $n-1$ 位是数值位。

二、四种码制的定义（设 $n=8$，$x=37$）

码制	正数	负数
原码（sign-magnitude）	符号位 0 + 绝对值	符号位 1 + 绝对值
反码（ones' complement）	同原码	符号位不变，数值位逐位取反
补码（two's complement）	同原码	反码 + 1
移码（biased / offset）	符号位取反的补码	符号位取反的补码

移码还有个更常用的等价定义：

$$[x{]}_{\text{移}}=x+2^{n-1}$$

即把真值整体平移 $2^{n-1}$，让最小的负数落到全 0 上。$n=8$ 时偏移量是 128。

三、表示范围（$n=8$，必须背下来）

码制	范围	个数	零的表示
原码	$-127\sim +127$	255	两个：0000 0000(+0)、1000 0000(−0)
反码	$-127\sim +127$	255	两个：0000 0000(+0)、1111 1111(−0)
补码	$\mathbf{-}\mathbf{128}\sim \mathbf{+}\mathbf{127}$	256	唯一：0000 0000
移码	$-128\sim +127$	256	唯一：1000 0000

为什么补码能多表示一个数：原码和反码有两个零，白白浪费一个编码；补码把唯一的零编码让出来，于是多出 1000 0000 这个位置表示 $-128$。所以：

$$\text{补码范围}=-2^{n-1}\sim +2^{n-1}-1$$

四、码制之间的转换

四种码制互相转换，记住三条通路：

        负数
原码 ──────────→ 反码 ──────────→ 补码
(符号位1+绝对值)  (数值位取反)    (+1)
  ↑                                  │
  └──────── 移码 = 补码符号位取反 ←──┘

1. 原码 → 反码：负数符号位不动，数值位全取反（正数不变）。
2. 反码 → 补码：加 1（正数不变）。
3. 补码 → 移码：符号位取反，其余位不动。

负数补码的两种手算技巧（都要会，考场上挑快的用）：

• 取反加一：先写绝对值的原码，数值位取反，再 +1。
• 末 1 法：从右往左找第一个 1，这个 1 和它右边的所有 0 保持不动，左边（含符号位）全部取反。

以 $-37$ 为例：$37$ 的 8 位是 0010 0101，最右边的 1 在第 0 位，所以右侧不动、左侧取反 → 1101 1011。与"取反加一"结果一致。

五、补码的本原：模运算

补码不是人为规定的技巧，它来自模运算（modular arithmetic）。$n$ 位寄存器的模是 $2^n$，超过模的最高位进位会自然丢弃——这就是"溢出位不要了"的物理含义。

在这个模意义下：

$$[-x{]}_{\text{补}}\equiv 2^n-x(\mathrm{mod}{2}^n)$$

所以 $-37$ 的 8 位补码就是 $2^8-37=219$，写成二进制正是 1101 1011。减法 $x-y$ 于是变成 $x+(2^n-y)$，机器只需要一个加法器。 这是补码统治现代计算机的根本原因。

补码还有一个实用的位权公式，可以直接把机器数算回真值：

$$x=-2^{n-1}\cdot b_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}{2}^i\cdot b_i$$

即最高位的权是负的。验证 1101 1011：$-128+64+16+8+2+1=-37$ ✓

六、加减运算与溢出判断

补码加减法规则只有一句：

$$[x+y{]}_{\text{补}}=[x{]}_{\text{补}}+[y{]}_{\text{补}}(\mathrm{mod}{2}^n)$$

符号位照常参与运算，产生的高位进位直接丢弃。

溢出的真正判据：结果超出了补码的表示范围。机器上有三种判法：

判法	规则
双符号位法	用 00 表示正、11 表示负。结果 01 = 正溢出，10 = 负溢出（两个符号位不等即溢出）
进位比较法	记最高位进位 $C_n$、次高位进位 $C_{n-1}$，则 $\text{OF}=C_n\oplus C_{n-1}$
同号法	两个正数相加得负数，或两个负数相加得正数 → 溢出。异号相加永不溢出

三种判法是等价的，但**"最高位有进位"本身不是溢出**——这一点几乎年年考。

七、符号扩展

把 $n$ 位数放进 $m$ 位（$m>n$）时：

码制	扩展规则
补码	高位全部填符号位（正数补 0，负数补 1）
反码	同上（正数补 0，负数补 1）
原码	高位填 0，只在符号位与数值位之间插 0

$-37$ 的补码从 8 位扩展到 32 位：

8 位:  1101 1011
16 位: 1111 1111 1101 1011
32 位: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1011

示例

例 1：求 $-37$ 的四种码（$n=8$）

完整计算过程：

第一步，写出绝对值 $37$ 的 7 位二进制：

$$37=32+4+1=2^5+2^2+2^0={0100101}_{(2)}$$

第二步，原码 = 符号位 1 + 7 位绝对值：

$$[-37{]}_{\text{原}}=10100101=\mathtt{\text{1010 0101}}$$

第三步，反码 = 符号位不变，数值位逐位取反（0100101 → 1011010）：

$$[-37{]}_{\text{反}}=\mathtt{\text{1101 1010}}$$

第四步，补码 = 反码 + 1：

$$\mathtt{\text{1101 1010}}+1=\mathtt{\text{1101 1011}}$$

第五步，移码 = 补码符号位取反（1 → 0）：

$$[-37{]}_{\text{移}}=\mathtt{\text{0101 1011}}$$

验算（用位权公式与偏移定义两边对一下）：

• 补码按位权：$-128+64+16+8+2+1=-37$ ✓
• 移码按定义：$-37+2^7=-37+128=91={01011011}_{(2)}$ ✓

答案表：

码制	机器数	十进制
原码	1010 0101	—
反码	1101 1010	—
补码	1101 1011	219
移码	0101 1011	91

例 2：用补码算 $25-38$

完整计算过程：

第一步，写 $25$ 的补码（正数同原码）：

$$[25{]}_{\text{补}}=\mathtt{\text{0001 1001}}$$

第二步，写 $-38$ 的补码。$38=00100110$，数值位取反得 11011001，加 1：

$$[-38{]}_{\text{补}}=\mathtt{\text{1101 1010}}$$

第三步，相加（符号位一起参加）：

  0001 1001   (+25)
+ 1101 1010   (-38)
────────────
  1111 0011

最高位没有产生进位，无需丢弃。

第四步，把结果算回真值：

$$\mathtt{\text{1111 0011}}=-128+64+32+16+2+1=-13$$

结论：$25-38=-13$ ✓ 整个过程只用了一个加法器。

例 3：溢出判断（$n=4$）

运算	机器码相加	$C_n$	$C_{n-1}$	$C_n\oplus C_{n-1}$	真值和	是否溢出
$7+1$	0111 + 0001 = 1000	0	1	1	8	溢出
$5+3$	0101 + 0011 = 1000	0	1	1	8	溢出
$5+5$	0101 + 0101 = 1010	0	1	1	10	溢出
$3+4$	0011 + 0100 = 0111	0	0	0	7	不溢出

$7+1$ 的物理过程值得看清：0111 的最低位两个 1 相加产生进位，进位一路传到最高位——$C_1=C_2=C_3=1$，但最高位（第 3 位）本身相加是 $0+0+1=1$，不产生输出进位，于是 $C_4=0$。$C_3=1$ 而 $C_4=0$，一进一出不平衡，说明进位"淹"进了符号位。

用同号法复核：$7$、$1$ 都是正数，结果 1000 读作 $-8$，符号由正变负 → 正溢出 ✓

例 4：C 代码——观察位模式

本机不提供代码运行能力，下面代码加了 runnable 标记仅为将来接入运行件预留；现在请自行在本地编译验证。

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

/* 打印整数 x 在 n 位下的二进制（不含符号位区分，纯粹位模式） */
static void print_bits(uint32_t x, int n) {
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        putchar((x >> i) & 1u ? '1' : '0');
        if (i % 4 == 0 && i != 0) putchar(' ');
    }
    putchar('\n');
}

int main(void) {
    uint8_t v = 37;                 /* 用无符号承载位模式，避开有符号溢出 */

    printf("-37 原码: ");
    print_bits((uint8_t)(0x80u | v), 8);          /* 1010 0101 */
    printf("-37 反码: ");
    print_bits((uint8_t)(0x80u | (uint8_t)~v), 8); /* 1101 1010 */
    printf("-37 补码: ");
    print_bits((uint8_t)(0x100u - v), 8);          /* 1101 1011 */

    /* 补码加法：25 + (-38)，8 位截断 */
    uint8_t a = 25, b = (uint8_t)(256 - 38);
    uint8_t s = (uint8_t)(a + b);
    printf("25 + (-38) = ");
    print_bits(s, 8);                              /* 1111 0011 */
    printf("解释为有符号数 = %d\n", (int)(int8_t)s); /* -13 */

    /* 符号扩展：把 8 位 -37 升到 16 位 */
    int8_t  small = -37;
    int16_t wide  = small;                          /* C 自动做符号扩展 */
    printf("符号扩展后 16 位 = %d\n", wide);        /* -37 */

    return 0;
}

c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

关键点：用 uint8_t 承载位模式，用 int8_t 重新解释。 直接对 int8_t 做 $127+1$ 在 C 里是未定义行为（undefined behavior），标准不保证回绕——这是极易踩的坑，考场上写算法题时不要依赖有符号溢出。

例 5：Python 对照

def bits(v, n):
    return format(v & ((1 << n) - 1), '0%db' % n)

def group(s):
    return ' '.join(s[i:i+4] for i in range(0, len(s), 4))

n = 8
MASK = (1 << n) - 1

# 原码 / 反码 / 补码 / 移码
x = -37
mag = bits(abs(x), n - 1)
yz  = ('1' if x < 0 else '0') + mag
fan = ('1' + ''.join('1' if c == '0' else '0' for c in mag)) if x < 0 else yz
bu  = bits(x, n)                       # Python 负数天然是补码语义
yi  = bits(x + (1 << (n - 1)), n)      # 移码 = 真值 + 2^(n-1)

print('原码', group(yz))
print('反码', group(fan))
print('补码', group(bu))
print('移码', group(yi))

# 位权公式复核补码
val = -int(bu[0]) * 2**(n-1) + int(bu[1:], 2)
print('位权公式算回真值 =', val)

# 补码减法：25 - 38
print('25 - 38 =', int(bits(25 + (-38), n), 2) - 256)

# 溢出判断：4 位
for a, b in [(7, 1), (5, 3), (3, 4), (-4, -5)]:
    r = a + b
    print('%3d + %3d = %3d  溢出=%s' % (a, b, r, not (-8 <= r <= 7)))

python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行

输出对照：补码 1101 1011、位权公式算回真值 = -37、25 - 38 = -13，与例 1、例 2 完全一致。

考点

考点

1. 必背表（$n=8$）

码制	范围	零
原码	$-127\sim 127$	两个
反码	$-127\sim 127$	两个
补码	$-128\sim 127$	一个
移码	$-128\sim 127$	一个（1000 0000）

2. 高频陷阱

• 补码的 $-128$ 是"孤儿"：它没有对应的原码和反码。原码里的 1000 0000 表示的是 $-0$，不是 $-128$。题目问"某码制能表示的最小数"时，原码答 $-127$、补码答 $-128$。
• 反码的 $-0$ 是 1111 1111，与补码的 $-1$ 长得一模一样。看到 1111 1111 先问一句"这是哪种码"。
• 移码的 0 是 1000 0000，不是 0000 0000。移码不用于表示整个数据，只用于浮点数的阶码。
• 移码比较大小 = 无符号比较：这正是选它做阶码的原因——浮点数比较大小可以先比阶码。若把移码当补码看会全错。
• 溢出 ≠ 最高位有进位。正确判据是 $C_n\oplus C_{n-1}$。反例：$5+5$ 在 4 位下 $C_n=0$（没进位）却仍然溢出。
• 异号相加永不溢出。用这条快速排除选项。
• 符号扩展对原码特殊：原码不能在高位补符号位，只能在符号位与数值位之间插 0。
• 无符号数与有符号数共用一串 01：1111 1111 当无符号读是 255，当补码读是 $-1$。题目说"无符号数"时必须换算法则，此时溢出看最高位进位 CF，而不是 OF。

3. 计算提速口诀

• 负数补码：末 1 及右侧不变，左侧全反。
• 补码求负：全部位取反再加 1（对自己取反加一就得到相反数）。
• 判断两数是否同号：符号位异或，0 表示同号。
• 求真值：最高位带负权，其余位正常加权。

4. 与后续章节的接口

• 补码加法器就是第 04 篇的行波进位 / 先行进位加法器，加减法统一通路在那一篇展开。
• 移码是第 03 篇浮点数阶码的编码方式，为什么阶码用移码，答案就是上文的"比较大小"。

小结

• 原码符号位 + 绝对值，直观但不便运算，有双零。
• 反码是求补码的桥，同样有双零。
• 补码是机器的运算形式，本质是模 $2^n$ 运算，把减法化成了加法；范围 $-2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1$，零唯一。
• 移码就是补码符号位取反，专供阶码使用，好处是"比大小即比机器数"。
• 三个必须张口就来的点：范围表、零的表示、溢出判据 $C_n\oplus C_{n-1}$。

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