逻辑 · 形式逻辑基础

概念

形式逻辑研究推理的形式结构：不管一句话讲的是天气还是股票，只要推理的形状对，前提真就能保证结论真。

$$\text{逻辑}\ne \text{内容的对错},\text{逻辑}=\text{从前提到结论的保真传递}$$

它与本站主线关系极深：命题逻辑 ↔ 布尔代数 ↔ 门电路。与门就是"且"，或门就是"或"，非门就是"非"——电 · 电路与数字逻辑 里搭的每一个电路，都是这里的一条公式的物理实现。

一句话区分：逻辑学管"对不对"（有效性），事实核查管"真不真"（真实性）。前提假但推理有效是完全可能的，这是逻辑与日常直觉最大的分歧点。

原理

一、命题与联结词

命题是能判断真假的陈述句（疑问句、祈使句、含糊句都不是命题）。复合命题由联结词组合而成：

联结词	符号	含义	电路对应
否定	$\mathrm{\neg }p$	非 p	非门 NOT
合取	$p\wedge q$	p 且 q	与门 AND
析取	$p\vee q$	p 或 q（相容或）	或门 OR
蕴含	$p\to q$	若 p 则 q	—
等价	$p\leftrightarrow q$	p 当且仅当 q	同或 XNOR

二、真值表

$$\begin{array}{ccccccc}p& q& \mathrm{\neg }p& p\wedge q& p\vee q& p\to q& p\leftrightarrow q\\ T& T& F& T& T& T& T\\ T& F& F& F& T& F& F\\ F& T& T& F& T& T& F\\ F& F& T& F& F& T& T\end{array}$$

蕴含 $p\to q$ 只在"p 真 q 假"时为假，其余三种情况都为真。这叫善意推定（vacuous truth）：前提不成立时，整个条件句不被视为说谎。

举例："如果明天不下雨，我就去爬山。"只有"没下雨但我没去"才算食言；下雨了不管去没去，都不算食言。

三、等价式与推理规则

常用等价式（电路化简和代码重构天天在用）：

名称	公式
双重否定	$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\equiv p$
德摩根律	$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$，$\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$
蕴含展开	$p\to q\equiv \mathrm{\neg }p\vee q$
逆否等价	$p\to q\equiv \mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p$
分配律	$p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
吸收律	$p\vee (p\wedge q)\equiv p$

常用推理规则：

• 肯定前件（Modus Ponens）：$p\to q$，$p$ ⊦ $q$　（有效）
• 否定后件（Modus Tollens）：$p\to q$，$\mathrm{\neg }q$ ⊦ $\mathrm{\neg }p$　（有效）
• 假言三段论：$p\to q$，$q\to r$ ⊦ $p\to r$

四、量词与三段论

• 全称量词 $\mathrm{\forall }$（"所有"）、存在量词 $\mathrm{\exists }$（"存在"）
• 量词否定：$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }xP(x))\equiv \mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x)$；$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }xP(x))\equiv \mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }P(x)$
• 三段论：大前提 + 小前提 → 结论。经典形式："所有 M 是 P；S 是 M；所以 S 是 P"

五、充分条件与必要条件

说法	逻辑形式	例子
p 是 q 的充分条件	$p\to q$	下雨 → 地湿（下雨就够了）
p 是 q 的必要条件	$q\to p$（即 $\mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }q$）	有氧 → 火燃烧的必要条件
p 是 q 的充要条件	$p\leftrightarrow q$	三角形等边 ↔ 等角

示例

例 1：用真值表证明德摩根律

验证 $\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$：

$p$	$q$	$p\wedge q$	$\mathrm{\neg }(p\wedge q)$	$\mathrm{\neg }p$	$\mathrm{\neg }q$	$\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$
T	T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	T	T	T	T

两列（加粗）完全相同，等价成立。这就是代码里 !(a && b) 与 !a || !b 可以互换的根据。

例 2：判断推理是否有效

前提 1：如果程序有死循环，CPU 会跑满。 前提 2：CPU 跑满了。 结论：程序有死循环。

设 $p$ = 有死循环，$q$ = CPU 跑满。形式是：

$$p\to q,q\therefore p$$

查真值表：$p=F,q=T$ 时，$p\to q$ 为真、$q$ 为真，但结论 $p$ 为假——存在前提全真而结论假的赋值，所以这是无效推理，犯的是肯定后件谬误（CPU 跑满也可能是正常高负载）。

把前提 2 改成"CPU 没有跑满"（$\mathrm{\neg }q$），则 $\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p$（逆否等价），结论"没有死循环"就有效了。

用代码验算：穷举真值表

from itertools import product

def impl(p, q):          # 蕴含：只有 p 真 q 假时为假
    return (not p) or q

print(f"{'p':<6}{'q':<6}{'p→q':<8}{'¬(p∧q)':<9}{'¬p∨¬q':<9}{'逆否 ¬q→¬p'}")
for p, q in product([True, False], repeat=2):
    print(f"{str(p):<6}{str(q):<6}{str(impl(p,q)):<8}"
          f"{str(not (p and q)):<9}{str((not p) or (not q)):<9}"
          f"{str(impl(not q, not p))}")

# 检查肯定后件是否处处有效：(p→q) 且 q 是否总能推出 p
valid = all((not (impl(p, q) and q)) or p for p, q in product([True, False], repeat=2))
print("肯定后件有效？", valid)   # False —— 例 2 的谬误

运行结果会显示 $p\to q$ 与 $\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p$ 两列完全相同（逆否等价），而"肯定后件"判据为 False。

要点

要点与常见误区

1. "或"默认是相容或（可以都成立）。"或"为排他时要额外说明，或写成异或 $p\oplus q$。
2. $p\to q$ 在 p 为假时自动为真（善意推定）。"如果 1+1=3，那我就是国王"这个命题在逻辑上为真。
3. 原命题与逆否命题等价，与逆命题、否命题不等价。 "下雨→地湿"成立，"地湿→下雨"不成立（可能有人浇水）。
4. 充分与必要别搞反：$p\to q$ 中 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。说"只有 p 才 q"，形式是 $q\to p$。
5. 量词否定时要"翻"："不全是"（$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }$）等于"至少有一个不是"（$\mathrm{\exists }\mathrm{\neg }$），不是"全都不是"。
6. 推理有效 ≠ 结论为真。前提假但形式有效，结论仍可能假；逻辑只保证"真前提推不出假结论"。
7. ∀ 与 ∃ 的顺序不能随便换："每个人都有一个母亲"（$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y$）与"有一个人是所有人的母亲"（$\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x$）完全不同。
8. 形式化的价值在去歧义：日常语言里的"和""或""如果"常有歧义，写成符号后争议点一目了然。

小结

• 形式逻辑只管推理形式是否保真，不管内容真假。
• 五个联结词的真值表是全部基础，蕴含的"善意推定"最反直觉也最容易错。
• 德摩根律、逆否等价是化简与证明的常用工具；肯定后件、否定前件是两大典型无效推理。
• 与主线呼应：命题逻辑 = 布尔代数 = 门电路，写下一行 if (a && !b) 时，你就在用形式逻辑。

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