地图学与 GIS

概念

前四章讲的是"地上有什么"，本章讲的是**"这件事怎么变成计算机能处理的数据"**。这是地理学与计算机科学握手的地方。

一条地理信息 = 位置 + 属性 + 时间。GIS（Geographic Information System，地理信息系统）是把这三位一体做采集、存储、管理、分析、可视化的系统。

它把现实世界抽象成两种模型：

模型	表达方式	适合	不适合
矢量	点 / 线 / 面 + 拓扑关系	地界、道路、行政区划（边界清晰的对象）	连续变化的现象（气温、高程）
栅格	规则格网 + 像元值	高程、影像、降雨分布（连续场）	精确边界（永远有锯齿）

地图学的核心难题只有一个：地球是曲面，屏幕是平面。 把这个曲面摊平必然产生变形，所有投影方法都是在"保住哪一类变形"之间做取舍。

原理

参考椭球与大地坐标系

地球不是正球体：赤道略鼓、两极略扁。用旋转椭球逼近，两个参数就够——长半轴 $a$ 与扁率 $f$：

$$f=\frac{a-b}{a}$$

椭球	长半轴 a（m）	1/f	短半轴 b（m）	备注
WGS84	6378137.0	298.257223563	6356752.3142	GPS 全球通用
CGCS2000	6378137.0	298.257222101	6356752.3141	中国 2008 年 7 月 1 日起启用的国家大地坐标系

三个层次要分清：

1. 大地水准面——静止海平面延伸穿过陆地的重力等位面（物理面，形状不规则）。
2. 参考椭球——用来逼近大地水准面的数学曲面（可计算）。
3. 基准（datum）——椭球 + 定位定向，如 WGS84、CGCS2000。同一经纬度在不同基准下对应不同的地面点，两套坐标混用会产生几十米级偏差。

地图投影：三种变形与取舍

投影变形分四类：长度、面积、角度、形状。任何投影都不可能同时保住全部（高斯定理），于是产生三类：

类型	保住什么	实例
等角投影	角度与形状（方向正确）	墨卡托、高斯-克吕格
等积投影	面积（形状被拉歪）	阿尔伯斯、兰勃特方位等积
等距投影	某些方向上的长度	兰勃特等距

墨卡托投影是最常用也最容易被误用的一个：它把经纬网画成矩形，等角、保方向，因此适合航海与网络地图；但它的面积变形随纬度急剧放大——比例因子就是 $\sec \phi =1/\cos \phi$：

纬度	0°	30°	45°	60°	80°
比例因子	1.0000	1.1547	1.4142	2.0000	5.7588

这就是为什么在常见网络地图上格陵兰看起来和非洲差不多大——在 70°N 附近，图上面积被放大了约 8.5 倍。

Web Mercator（EPSG:3857） 是墨卡托的球形简化版，地图服务用它切瓦片：第 $z$ 级把世界切成 $4^z$ 张 256×256 的图片，赤道处每像素代表的地面长度随 $2^z$ 递减。

分带投影：把变形控制在小区间里

既然摊平就有变形，那就别一次摊太大——把地球纬度方向切成窄带，每条带单独投影，这就是分带投影。中国最常用两种：

高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱）：

$$\text{6° 带带号 }n=\lfloor \frac{\lambda }{6}\rfloor +1,\text{中央经线 }{\lambda }_0=6n-3$$$$\text{3° 带带号 }{n}^{\prime }=\text{round}\left(\frac{\lambda }{3}\right),\text{中央经线 }{\lambda }_0=3n^{\prime }$$

UTM 投影（通用横轴墨卡托）：自 180°W 起每 6° 一带，

$$\text{zone}=\lfloor \frac{\lambda +180}{6}\rfloor +1,\text{中央经线}=6\times \text{zone}-183$$

UTM 还有纬度带，用字母 C 到 X 表示（跳过 I 和 O，避免与 1、0 混淆）。

跨带问题：一个城市或省如果横跨两条带，两张图拼接时会有接缝偏差。工程上的做法是选择中央经线尽量靠近研究区中心的一条带，或改用自定义的局部投影。

空间分析：GIS 的能力所在

分析类型	做什么	典型应用
查询与量算	找满足条件的要素、算距离/面积	"找出所有距河 500 m 内的村庄"
缓冲区分析	沿要素生成一定宽度的邻域	噪声影响范围、选址避让带
叠置分析	多图层求交/求并	把"坡度图"与"土地利用图"叠加找宜建区
网络分析	在路网上算最短路径与服务区	配送路径、应急响应范围
空间插值	由离散点推连续面	由气象站点推全省降雨分布
地形分析	由 DEM 算坡度、坡向、汇流	水土流失评估

其中网络分析的本质就是图上的最短路问题，算法与数据结构课里的 Dijkstra 完全同源，可对照 最短路径 一章。

空间插值的常用方法：

• 最近邻：取最近站点的值，简单但产生"阶梯状"表面。
• 反距离加权（IDW）：权重取 $w_i=1/d_i^p$（常用 $p=2$），$d$ 越小权重越大。
• 克里金（Kriging）：引入变异函数做统计最优估计，能给出误差估计，代价是参数多。

DEM（数字高程模型） 是栅格模型最典型的应用：每个像元存一个高程值，由此可算坡度（相邻像元高差 / 像元间距）、坡向、汇流累积量。

坐标与量算：经纬度不是均匀的

一个容易踩的坑：经度 1° 对应的地面长度随纬度变化，纬度 1° 却基本不变。

$$1°\text{纬度}\approx 111.13\text{km（各处接近恒定）}$$$$1°\text{经度}\approx 111.32\times \cos \phi \text{km（随纬度锐减）}$$

两点间的真实距离要用大圆距离（球面最短弧长）计算，工程上最常用 Haversine 公式：

$$d=2R\arcsin \sqrt{{\sin }^2\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}+\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2{\sin }^2\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{2}}$$

直接用"经纬度差 × 111 km"估算距离，在高纬度或东西跨度大的场合会系统性高估——这是 GIS 入门最常见的错误。

示例

例 1：WGS84 椭球的扁率到底有多小？

完整计算过程：

$$f=\frac{1}{298.257223563}=0.0033528107$$$$b=a(1-f)=6378137\times (1-0.0033528107)=6356752.3142\text{m}$$

长短半轴之差：

$$6378137-6356752.3142=21384.686\text{m}\approx 21.38\text{km}$$

结论：赤道比极半径长 21.38 km，不到地球半径的 0.34%。"地球是圆的"在初中物理够用，做测绘时这 21 km 就不能忽略了。

例 2：北京在哪个投影带？

北京约 116.4°E，求它所在的 6° 带、3° 带与 UTM 带的带号与中央经线。

完整计算过程：

6° 带：

$$n=\lfloor \frac{116.4}{6}\rfloor +1=19+1=20,{\lambda }_0=6\times 20-3=117°$$

3° 带：

$$n^{\prime }=\text{round}\left(\frac{116.4}{3}\right)=\text{round}(38.8)=39,{\lambda }_0=3\times 39=117°$$

UTM：

$$\text{zone}=\lfloor \frac{116.4+180}{6}\rfloor +1=49+1=50,{\lambda }_0=6\times 50-183=117°$$

结论：北京落在6° 带第 20 带、3° 带第 39 带、UTM 第 50 带，三种分带算出的中央经线恰好都是 117°E。这不是巧合——北京的经度离 117° 很近，所以三种划分都把它归到以 117° 为中心的带内。

例 3：网络地图第 18 级的精度

完整计算过程：

Web Mercator 以赤道周长 2πR 为基准，R = 6378137 m：

$$C=2\pi \times 6378137=40075016.686\text{m}$$

第 $z$ 级的赤道分辨率（瓦片 256 px）：

$$r_z=\frac{C}{256\times 2^z}$$

代入 $z=18$：

$$r_{18}=\frac{40075016.686}{256\times 262144}=0.5972\text{m/px}$$

北京纬度 39.9°，需再乘 $\cos \phi$：

$$r=0.5972\times \cos 39.9°=0.5972\times 0.7674=0.4581\text{m/px}$$

结论：z=18 时北京一带每像素约 0.46 m，这就是常见网络地图最大缩放级别的实际精度。对照表（赤道）：z=10 → 152.87 m/px，z=15 → 4.78 m/px，z=18 → 0.597 m/px。

例 4：经度 1° 到底多长？

完整计算过程：

$$1°\text{经度}=111.32\times \cos \phi \text{km}$$

纬度 φ	0°（赤道）	23.1°（广州）	39.9°（北京）	45°	60°
经度 1° 长度	111.32 km	102.39 km	85.40 km	78.72 km	55.66 km

结论：同一个"经度差 1 度"，在赤道是 111.32 km，在北京只有 85.40 km，到 60°N 只剩 55.66 km。把经纬度差直接当距离用，在北京会高估约 30%，在 60°N 会高估接近一倍。

例 5：用 Haversine 算北京—上海的距离

完整计算过程：

北京 (39.9042°N, 116.4074°E)、上海 (31.2304°N, 121.4737°E)，取 R = 6371.0088 km：

$$\mathrm{\Delta }\phi =-8.6738°,\mathrm{\Delta }\lambda =5.0663°$$

代入 Haversine 公式得 1067.3 km。同类计算：北京—广州 1888.6 km、北京—乌鲁木齐 2411.0 km。

结论：北京到上海的球面直线距离约 1067 km。注意这是球面大圆距离，与铁路里程（约 1300 km）不同——一个是几何最短，一个是沿路网的实际长度，GIS 里对应"直线距离"与"网络距离"两套算法。

例 6：反距离加权插值

三个站点值分别为 10、20、30，坐标 (0,0)、(1,0)、(0,1)，用 p = 2 的 IDW 估计 (0.2, 0.3) 处的值。

完整计算过程：

站点	值 v	距离 d	权重 $w=1/d^2$	$w\cdot v$
(0,0)	10	0.3606	7.6923	76.9231
(1,0)	20	0.8544	1.3699	27.3973
(0,1)	30	0.7280	1.8868	56.6038

$$\hat{v}=\frac{\sum w_i{v}_i}{\sum w_i}=\frac{160.9242}{10.9490}=14.70$$

结论：估计值 14.70，明显偏向距离最近的站点 (0,0)（其值 10）。作为对比：最近邻法会直接取 10，算术平均则是 20——IDW 介于两者之间，且离得越近受的影响越大。

要点

要点与常见误区

1. WGS84 与 CGCS2000 是两个不同的基准，参数接近但不能混用；中国自 2008 年起用 CGCS2000。
2. 任何投影都有变形：等角就不等积、等积就不等角。看到"某投影能保面积又不失真"的说法，直接判错。
3. 墨卡托比例因子是 sec φ：60°N 处放大 2 倍、80°N 处放大 5.76 倍。网络地图上高纬地区被夸大，不是数据错了。
4. 高斯-克吕格 6° 带中央经线 = 6n − 3，3° 带 = 3n'，UTM = 6·zone − 183。三条公式容易串，按"带宽的一半"理解就不会错（3、1.5、3）。
5. UTM 的纬度带跳过 I 和 O，共 20 个字母 C 到 X。
6. 矢量适合离散边界、栅格适合连续场：问"哪种更好"是伪问题，要看现象本身的性质。
7. 比例尺 1:50000 表示图上 1 cm = 实地 500 m（不是 5 km，也不是 50 m）——大比例尺表示小范围、更详细。
8. 空间插值给出的是估计值，一定有误差：IDW 会"以最近点为王"，克里金能给出误差估计但需要变异函数。
9. 网络距离 ≠ 直线距离：导航给的是路网距离，Haversine 给的是大圆距离，两者相差可达 20%–30%。
10. GIS 不是画图软件：制图只是输出环节，它的核心价值是空间分析与空间决策。

小结

• 地理信息 = 位置 + 属性 + 时间；两种数据模型：矢量（离散）与栅格（连续）。
• 地球用参考椭球逼近，WGS84 与 CGCS2000 是中国常用的两套基准。
• 投影必变形，等角 / 等积 / 等距三选一；墨卡托等角但面积随纬度放大 sec φ 倍。
• 分带投影把变形压进窄带：6° 带、3° 带、UTM 三条公式要记牢。
• 空间分析的六件套：查询量算、缓冲、叠置、网络、插值、地形 —— 其中网络分析直通图算法。
• 经纬度不是均匀网格：1° 经度随纬度收缩，量距必须用大圆距离。

下一章换个方向：同样是"把地面变成数据"，但这次靠的是天上的传感器。

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