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状态空间分析
概念
前六章走的都是同一条路：把系统看成一个"输入进去、输出出来"的黑箱，用传递函数 G(s) 描述它。这条路很成功，但它有三处硬伤：
| 硬伤 | 具体表现 |
|---|---|
| 只认单入单出 | 多输入多输出（比如四旋翼的四个电机、三个姿态角）根本没有"一个"传递函数 |
| 看不到内部 | 传递函数里极点可能对消，对消掉的内部模态在输出上完全看不见——那部分未必是稳定的 |
| 初始条件被抹掉 | 传递函数是在零初始条件下定义的，系统"从什么状态出发"这件事被丢掉了 |
状态空间法把这三条一起解决：不再只看一个输入一个输出，而是把系统的全部内部状态写成一组一阶微分方程。
一句话说清它是什么：状态空间法把 n 阶系统拆成 n 个一阶方程，用矩阵把"状态怎么变"和"能测到什么"分别写出来。
| 量 | 名字 | 维度 | 含义 |
|---|---|---|---|
x | 状态向量 | n 维 | 一组能完全决定系统未来行为的最小变量集合 |
u | 输入向量 | m 维 | 可控的外部作用 |
y | 输出向量 | p 维 | 能测量到的量 |
A | 状态矩阵 | n×n | 系统自身的动力学 |
B | 输入矩阵 | n×m | 输入怎么影响状态 |
C | 输出矩阵 | p×n | 哪些状态的组合能被测到 |
D | 直通矩阵 | p×m | 输入直接透传到输出的部分 |
n 就是系统的阶数——这一点必须记牢：一个 n 阶系统恰好有 n 个状态变量，多一个总有冗余、少一个就描述不全。
这一层回答了上一层什么问题：上一章用 PID 把"一个回路"调好了，但 PID 处理的始终是"一路进、一路出"。换个问题——如果我要同时管四个电机、还要保证某些内部量不发散呢？ 这就需要一个能描述"内部"的语言。而状态空间给出的两个新概念——能控性与能观性——在传递函数里根本问不出来。
状态空间法和经典控制的关系不是替代，而是扩展：经典法擅长"调一个回路"，状态空间法擅长"管多个回路、看内部结构、做最优设计"。同一个系统，两套语言可以互相翻译（见第一节末尾的公式）。
原理
一、状态变量与状态方程
"状态"的精确定义：一组最小数量的变量，只要知道它们在某个时刻的取值，加上这之后的所有输入，就能完全确定系统这之后的全部行为。
这个定义里两个词是关键："最小"（不能多，多了有冗余）和**"完全确定"**（不能少，少了信息不够）。对 n 阶系统，状态变量的个数恰好是 n。
写状态方程的过程，其实就是把高阶微分方程降成一阶方程组。以二阶为例，y'' + a1 y' + a0 y = b u：
令 x1 = y，x2 = y'
则 x1' = x2
x2' = -a0 x1 - a1 x2 + b u写成矩阵形式：
这个形式叫"能控标准型"，它的特点是结构极其规整，看一眼矩阵就知道原传递函数的系数：
| 矩阵 | 元素规律 |
|---|---|
A | 最后一行是特征多项式系数取负、倒序（-a0、-a1……）；上三角是单位阵错位 |
B | 只有一个 1，在最后一行 |
C | 只有第一个元素非零，等于传递函数的分子系数 |
为什么叫"能控标准型"：这个形式下系统一定是能控的（第三节会验证），而且极点配置的求解特别简单（第四节）。
从状态空间回到传递函数：
这个公式是两套语言的翻译官。它说明了一件重要的事：状态空间的表示不是唯一的（同一系统的 A、B、C 可以有无数种等价写法，只要用相似变换 T 转一下：A' = TAT⁻¹、B' = TB、C' = CT⁻¹），但它们给出的 G(s) 完全相同，特征值也完全相同——这就是"内部结构可变、外部行为不变"的正式表达。
G(s) 的极点就是 A 的特征值（除非发生零极点对消）。而对消掉的那部分，正是状态空间法能看到、传递函数法看不到的东西。
二、状态转移矩阵：解的核心
齐次方程 x' = Ax 的解是
e^{At} 叫状态转移矩阵（常记作 Φ(t)），它承担的任务就一句话：把初始状态"搬运"到 t 时刻的状态。
四条必须记住的性质：
| 性质 | 表达式 | 意义 |
|---|---|---|
| 零时刻是单位阵 | e^{A·0} = I | 状态不经过时间就不改变 |
| 求导自洽 | d/dt (e^{At}) = A·e^{At} | 代入方程就验证了 |
| 可逆 | (e^{At})⁻¹ = e^{-At} | 状态转移可以倒着走（这也是它比一般矩阵函数特殊的地方） |
| 半群性质 | e^{A(t1+t2)} = e^{At1}·e^{At2} | 同一系统两段时间的转移可以相乘——A 只有一个时成立 |
计算 e^{At} 有两条正路：
| 路径 | 做法 | 适用 |
|---|---|---|
| 级数展开 | e^{At} = I + At + (At)²/2! + (At)³/3! + … | 通用，适合数值计算（有限项截断） |
| Cayley-Hamilton | 用特征多项式把 A^n 降阶，得 e^{At} = α0(t)I + α1(t)A + … | 适合手算低阶，得到闭式解 |
Cayley-Hamilton 定理说的是"矩阵满足自己的特征方程"：若 A 的特征多项式是 λ² + p1 λ + p0，则 A² + p1 A + p0 I = 0。所以任何 A 的高次幂都能降到一次，e^{At} 这个无穷级数就被压成了 α0(t)I + α1(t)A 的形式，其中 α0、α1 由特征值决定。这就是"二阶系统的矩阵指数总能写成两个标量函数的组合"的根据。
非齐次方程的全解是两块之和：
左半块是零输入响应（只有初始状态、没有输入），右半块是零状态响应（只有输入、初始状态为零）。
这个结构和平常解微分方程完全一样（齐次解 + 特解），只是标量换成了矩阵。"零输入响应"与"零状态响应"这两块在经典控制里叫"自由响应"与"强迫响应"，是同一个东西的两种叫法。
三、能控性与能观性
这是状态空间法带来的两个全新概念，在传递函数里根本无从问起。
| 概念 | 定义 | 判据（n 阶系统） |
|---|---|---|
| 能控性 | 存在一个输入 u(t)，能在有限时间内把状态从任意初值推到任意目标值 | rank[B, AB, A²B, …, A^{n-1}B] = n |
| 能观性 | 由有限时间内的输出观测值，能唯一确定初始状态 | rank[C; CA; CA²; …; CA^{n-1}] = n |
两句话理解它们的物理意义：
- 能控 = 输入有没有"够到"每个状态的能力。若某个状态方向输入怎么推都推不动，那个方向上的问题就永远无法用反馈修正。
- 能观 = 输出有没有"暴露"每个状态的信息。若某个状态的初值对输出毫无影响，那它就没法被估计——即使它发散了，你也看不见。
判据用"秩"而不是"行列式"：对 n×n 方阵两者等价（秩满 ⟺ 行列式非零），但多输入多输出时矩阵是长方形的，只有秩判据才通用。所以标准写法是 rank(·) = n，二阶单入单出时可以退化成"行列式非零"。
对偶性（这是这套理论最漂亮的地方）：
原系统 (A, B, C) | 对偶系统 (Aᵀ, Cᵀ, Bᵀ) |
|---|---|
能控性矩阵 [B AB …] | 对偶系统的能观性矩阵 [Bᵀ; AᵀBᵀ; …] |
| 能控 ⟺ 对偶系统能观 | 能观 ⟺ 对偶系统能控 |
对偶性不只是数学巧合，它有工程含义：控制器设计（极点配置）与观测器设计（状态估计）在数学上是同一个问题，只是一个用 (A, B)、一个用 (Aᵀ, Cᵀ)。所有给控制器写的算法，把 (A,B) 换成 (Aᵀ,Cᵀ) 就自动变成观测器算法——这就是"分离原理"能成立的深层原因。
四、状态反馈与极点任意配置
状态反馈是指"直接把全部状态拿回来做线性组合，去补偿输入"：
闭环系统的动力学矩阵从 A 变成 A - BK，所以闭环极点是 A - BK 的特征值。于是问题变成：能不能选一个 K，让 A - BK 的特征值落在任意指定位置？
能任意配置极点，当且仅当系统能控。
这条定理是状态空间法的核心结论：能控性是"能不能设计控制器"的资格线。不能控的系统，某些极点你无论怎么选 K 都动不了——《自动控制原理》里那些"某个极点无法配置"的怪题，根源都是不可控模态。
求 K 的方法：
| 阶数 | 方法 |
|---|---|
| 二阶 | 直接写出 A - BK 的特征多项式，与目标多项式对比系数（最省事） |
| 高阶 | Ackermann 公式（用能控性矩阵、特征多项式代入，套公式即可） |
| 任意阶 | 把系统化为能控标准型后再配——标准型下 K 的系数与目标多项式系数一一对应 |
一个必须知道的局限：状态反馈改变不了零点，因而消不掉静差。
u = -Kx 只动极点，G(s) 的分子（零点）不变。所以把极点全放到很漂亮的负实轴上之后，阶跃响应的稳态值往往不是 1——这不是设计错了，而是状态反馈本身只管"动态形状"，不管"静态大小"。要修，就在前面串一个常数增益 N，让总直流增益变成 1。
这条与 PID 的对应关系很有意思：PID 里的 I 项相当于"内置积分器消差"，而状态反馈的解法是"外部前置增益定量补差"。前者鲁棒但吃裕度，后者精确但依赖模型准。
五、状态观测器
现实问题是：状态往往测不全——能测的只有输出 y（几种传感器），而状态有 n 个。"用能测的量去估计不能测的量"就是观测器的任务。
全维状态观测器（估计全部 n 个状态）的构造是：
它的结构可以拆成两半来看：
A x̂ + B u：用模型自己"预测"状态怎么变——这是模型在跑；L(y − C x̂)：用"实测输出与预测输出之差"来修正预测——这是反馈在纠偏。
误差方程是关键：令 e = x − x̂，两式相减得
误差的动力学只由 A − LC 决定，与 u 和 x 完全无关——这是一个完全自主的方程。于是观测器设计就变成"选 L 让 A − LC 的特征值尽可能负"（误差衰减得越快越好）。
分离原理：
状态反馈增益
K与观测器增益L可以各自独立设计，互不影响；由两者组成的闭环系统，其极点恰好是A − BK的极点与A − LC的极点之并。
这条原理之所以成立，正是因为第三节的对偶性：K 的问题（配置 A − BK）与 L 的问题（配置 A − LC）在数学上是对偶的同一个问题，所以可以分开算、直接拼。工程上的意义是巨大的：原本要同时解一个 2n 阶的耦合设计问题，现在拆成两个 n 阶的独立问题。
一条实践经验：观测器的极点通常取得比控制器极点更快（比如快 2~5 倍）。理由很直白——估计得不准，控制就没意义；让估计误差先衰减掉，控制才建立在可靠的信息上。代价是 L 变大会放大测量噪声，所以又不能取太快。
六、和前面五章的关系
| 前面的方法 | 状态空间里的对应 | 位置 |
|---|---|---|
传递函数 G(s) | C(sI−A)⁻¹B + D | 外部行为，内部结构可对消 |
| 极点 | A 的特征值 | 传递函数只看得到能控且能观的那部分极点 |
| 劳斯判据 | A 的特征值实部是否为负 | 状态空间下直接算特征值 |
PID 的 I 项 | 需要前置增益 N 或加积分状态 | 消差的两条不同思路 |
根轨迹的 K | 静态输出反馈（只用一个量） | 状态反馈是更一般的"全信息"反馈 |
最后一行值得强调：根轨迹调的是"输出反馈增益 K"（只用 y 这一个量），而状态反馈用的是全部 n 个状态。信息多了，能力就强了——这正是"能控就能任意配置极点"的直觉来源。
示例
例 1：系统矩阵、特征值与传递函数
取二阶系统 G(s) = 1/(s² + 3s + 2)，按能控标准型写出来：
text
A = [[0, 1], [-2, -3]]，B = [[0], [1]]，C = [[1, 0]]
迹 = -3.0，det = 2.0
特征方程 s^2 - 迹*s + det = s^2 + 3.0 s + 2.0 -> 特征值 -1、-2
传递函数 G(s) = C(sI-A)^-1 B = 1/(s^2 + 3s + 2)两处核对：
- 特征值
-1、-2与s² + 3s + 2 = (s+1)(s+2)的根一致。这不是巧合：A的特征多项式就是传递函数的分母（这正是能控标准型的构造目的）。 - 从
A、B、C反推出的G(s)与题目给的完全一致——这条"绕一圈再回来"的核对，验证的是整条链路（标准型构造 + 矩阵求逆）没有写错。手算时检查这一步，比重新算一遍矩阵还有效。
例 2：状态转移矩阵的两条计算路径
e^{At} 用**级数展开（40 项）**计算，并与 Cayley-Hamilton 闭式解对照：
text
t e^(At) 闭式解（行优先展开） 与级数(40项)的逐元素最大差
0.00 [+1.000000 +0.000000; +0.000000 +1.000000] 0.000e+00
0.50 [+0.845182 +0.238651; -0.477302 +0.129228] 1.110e-16
1.00 [+0.600424 +0.232544; -0.465088 -0.097209] 3.331e-16
2.00 [+0.252355 +0.117020; -0.234039 -0.098704] 1.887e-15闭式解的具体形式（由特征值 -1、-2 定出 α0 = 2e^{-t} − e^{-2t}、α1 = e^{-t} − e^{-2t}）：
这张表的用法：
t = 0那一行必须是单位阵，最大差0.000e+00——这是e^{At}的基本性质，也是最快的"程序有没有写错"的自检。如果t = 0不是单位阵，后面全不用看了。- 两条路径的差异在
10⁻¹⁶~10⁻¹⁵量级，并且随t增大而变大：t = 0.5时1.110e-16，t = 2.0时1.887e-15。这是级数截断在"矩阵元素量级变化更大"时误差放大的正常表现——40 项对应t = 2时最大项约2⁴⁰/40!，本来就在机器精度附近。
"两条路径互相印证"是本节最有价值的做法：闭式解可能推错、级数可能截断不足，但两者同时错到同一个值上的概率极低。 这与 06-pid 里"位置式与增量式互为对照"是同一种思路——不依赖参考答案，让两条独立路径互证。
例 3：能控性与能观性
text
能控性矩阵 Mc = [B AB] = [[0, 1], [1, -3]]，det = -1.0
能观性矩阵 Mo = [C; CA] = [[1, 0], [0, 1]]，det = 1.0
两个行列式都非零 -> 既完全能控、又完全能观AB 的算法：A·B = [[0,1],[-2,-3]]·[[0],[1]] = [[1],[-3]]，所以 [B AB] = [[0,1],[1,-3]]。
两处要点：
- 能控性矩阵的行列式是
-1（不是1）——判据只关心"是不是零"，不关心具体数值。负值完全正常。 - 能观性矩阵恰好是单位阵，这是能控标准型的附带好处：
C = [1, 0]直接测第一个状态x1 = y，而CA = [0, 1]正好测到x2。所以"能控标准型"的信息是"摊开"的，每个状态都被C或CA抓到。
这也是为什么能控标准型一定能控：它的能控性矩阵按构造就是一个"下三角带单位置换"的结构，必满秩。"能控标准型"这个名字本身就是结论。
例 4：极点配置与静差的补法
目标是把两个闭环极点都放到 -5：
text
目标特征多项式 (s+5)^2 = s^2 + 10s + 25
A - BK = [[0, 1], [-2-k1, -3-k2]]，其特征多项式为 s^2 + (3+k2)s + (2+k1)
对照系数：3 + k2 = 10 -> k2 = 7.0；2 + k1 = 25 -> k1 = 23.0
故反馈增益 K = [23.0, 7.0]
核对：A - BK = [[0.0, 1.0], [-25.0, -10.0]]，迹 = -10.0（应为 -10），det = 25.0（应为 25）对比系数这一步是全部的计算——二阶问题在能控标准型下就是两个一元一次方程，不需要算矩阵求逆、也不需要 Ackermann 公式。
核对用两个数就够：迹 = -10（对应 -5 + (-5)）与 det = 25（对应 (-5)×(-5)）。这两个数决定了特征多项式，也就决定了特征值——二次方程"和与积定根"的常识，在这里变成了最省事的验算手段。
但极点漂亮了，静差出来了：
text
闭环传递函数 1/(s^2+10s+25)，直流增益 = 1/25 = 0.040000
要消除静差需前置增益 N = 25（否则 e_ss = 1 - 0.04 = 0.96）阶跃输入的稳态输出只有 0.04，稳态误差 0.96——96% 的误差！ 这看起来很荒谬（极点明明在 -5，动态好得很），但完全合理：状态反馈不改变直流增益，只改变动态。
补法很简单：在参考输入前串一个 N = 1/0.04 = 25。但要清楚 N 的性质：它是按模型精确算出来的，如果模型不准（A、B 有误差），N 就不再精确，静差会重新出现。这正是"状态反馈不如 PID 的 I 项鲁棒"的具体体现——I 项不需要知道模型，靠"误差不清零就不停"的机制硬把静差压掉。
两句话对比这两种消差思路：
状态反馈 + 前置增益 N | PID 的积分项 | |
|---|---|---|
| 原理 | 按模型算出需要放大多少倍 | 误差不为零就持续累加 |
| 优点 | 精确、直接、不影响动态 | 不依赖模型、鲁棒 |
| 缺点 | 模型不准就失准 | 吃相位裕度、可能积分饱和 |
例 5：全维状态观测器
把观测器极点放到 -10、-10（比控制器极点 -5 快一倍）：
text
A - LC = [[-l1, 1], [-2-l2, -3]]，特征多项式 s^2 + (3+l1)s + (3*l1 + 2 + l2)
3 + l1 = 20 -> l1 = 17.0；3*17.0 + 2 + l2 = 100 -> l2 = 47.0
故观测器增益 L = [17.0, 47.0]
核对：特征值 = -10.0 与 -10.0
分离原理：状态反馈增益 K 与观测器增益 L 可以各自独立设计，互不影响注意 L = [17, 47] 比 K = [23, 7] 里那个 47 大得多，这正是"观测器要更快"的代价：增益越大，对测量噪声越敏感。工程上取观测器极点的经验法则是比控制器极点快 2 到 5 倍——这个例子里取的是 2 倍（-10 对 -5）。再快就要开始考虑噪声放大的问题了。
分离原理的验证：把 A − BK 与 A − LC 的特征值拼起来，就是整个闭环系统的 2n 个极点。这个例子里 K 与 L 各自都是二阶问题、各算各的，互不干扰——如果没有分离原理，就得去解一个耦合的 4 阶问题。
例 6：C 实现——矩阵运算与三条判据
/* statespace.c —— 状态空间：能控能观判据、状态转移矩阵、极点配置 */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
/* 2x2 矩阵按行存：M[2][2] */
static void mmul(const double A[2][2], const double B[2][2], double R[2][2])
{
int i, j, k;
for (i = 0; i < 2; i++)
for (j = 0; j < 2; j++) {
R[i][j] = 0.0;
for (k = 0; k < 2; k++)
R[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
}
}
static double det2(const double M[2][2])
{
return M[0][0] * M[1][1] - M[0][1] * M[1][0];
}
/* e^(At) 的级数展开：sum_{k=0}^{n-1} (At)^k / k! */
static void expm_series(const double A[2][2], double t, int n, double R[2][2])
{
double term[2][2] = { {1.0, 0.0}, {0.0, 1.0} };
double At[2][2], tmp[2][2];
int k, i, j;
for (i = 0; i < 2; i++)
for (j = 0; j < 2; j++) {
R[i][j] = (i == j) ? 1.0 : 0.0;
At[i][j] = A[i][j] * t;
}
for (k = 1; k < n; k++) {
mmul(term, At, tmp);
for (i = 0; i < 2; i++)
for (j = 0; j < 2; j++) {
term[i][j] = tmp[i][j] / k;
R[i][j] += term[i][j];
}
}
}
int main(void)
{
const double A[2][2] = { {0.0, 1.0}, {-2.0, -3.0} };
const double B[2][2] = { {0.0, 0.0}, {1.0, 0.0} }; /* 第 1 列是 B 向量 */
const double C[2][2] = { {1.0, 0.0}, {0.0, 0.0} }; /* 第 1 行是 C 向量 */
double AB[2][2], Mc[2][2], CA[2][2], Mo[2][2];
double Acl[2][2], BK[2][2], K[2][2], M[2][2];
const double ts[] = { 0.0, 0.5, 1.0, 2.0 };
int i, j;
printf("=== 一、系统矩阵与特征方程 ===\n");
printf(" A = [[0, 1], [-2, -3]]，B = [[0], [1]]，C = [[1, 0]]\n");
printf(" 迹 = %.1f，det = %.1f\n", A[0][0] + A[1][1], det2(A));
printf(" 特征方程 s^2 - 迹*s + det = s^2 + %.1f s + %.1f -> 特征值 -1、-2\n",
-(A[0][0] + A[1][1]), det2(A));
printf("\n=== 二、状态转移矩阵 e^(At)（级数 40 项）===\n");
for (i = 0; i < 4; i++) {
expm_series(A, ts[i], 40, M);
printf(" t = %4.2f e^At = [%+.6f %+.6f; %+.6f %+.6f]\n",
ts[i], M[0][0], M[0][1], M[1][0], M[1][1]);
}
printf("\n=== 三、能控性与能观性 ===\n");
mmul(A, B, AB);
for (i = 0; i < 2; i++) {
Mc[i][0] = B[i][0];
Mc[i][1] = AB[i][0];
}
printf(" Mc = [B AB] = [[%.0f, %.0f], [%.0f, %.0f]]，det = %.1f\n",
Mc[0][0], Mc[0][1], Mc[1][0], Mc[1][1], det2(Mc));
mmul(C, A, CA);
for (j = 0; j < 2; j++) {
Mo[0][j] = C[0][j];
Mo[1][j] = CA[0][j];
}
printf(" Mo = [C; CA] = [[%.0f, %.0f], [%.0f, %.0f]]，det = %.1f\n",
Mo[0][0], Mo[0][1], Mo[1][0], Mo[1][1], det2(Mo));
printf(" 两个行列式都非零 -> 既完全能控、又完全能观\n");
printf("\n=== 四、极点配置：K = [23, 7]，目标极点 -5、-5 ===\n");
K[0][0] = 23.0;
K[0][1] = 7.0;
mmul(B, K, BK);
for (i = 0; i < 2; i++)
for (j = 0; j < 2; j++)
Acl[i][j] = A[i][j] - BK[i][j];
printf(" A - BK = [[%.1f, %.1f], [%.1f, %.1f]]\n",
Acl[0][0], Acl[0][1], Acl[1][0], Acl[1][1]);
printf(" 迹 = %.1f（应为 -10），det = %.1f（应为 25）\n",
Acl[0][0] + Acl[1][1], det2(Acl));
printf(" 闭环传递函数 1/(s^2+10s+25)，直流增益 = 1/25 = %.6f\n", 1.0 / 25.0);
printf(" 要消除静差需前置增益 N = 25（否则 e_ss = 1 - 0.04 = 0.96）\n");
printf("\n=== 五、状态观测器：L = [17, 47]，目标极点 -10、-10 ===\n");
{
double l1 = 17.0, l2 = 47.0;
double b = 3.0 + l1, c = 3.0 * l1 + 2.0 + l2;
double disc = b * b - 4.0 * c;
printf(" A - LC = [[-%.0f, 1], [%.0f, -3]]\n", l1, -2.0 - l2);
printf(" 特征多项式 s^2 + %.0f s + %.0f\n", b, c);
printf(" 特征值 = %.1f 与 %.1f\n",
(-b + sqrt(disc)) / 2.0, (-b - sqrt(disc)) / 2.0);
}
printf(" 分离原理：K 与 L 可各自独立设计，互不影响\n");
return 0;
}
c 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行
预期输出：
=== 一、系统矩阵与特征方程 ===
A = [[0, 1], [-2, -3]]，B = [[0], [1]]，C = [[1, 0]]
迹 = -3.0，det = 2.0
特征方程 s^2 - 迹*s + det = s^2 + 3.0 s + 2.0 -> 特征值 -1、-2
=== 二、状态转移矩阵 e^(At)（级数 40 项）===
t = 0.00 e^At = [+1.000000 +0.000000; +0.000000 +1.000000]
t = 0.50 e^At = [+0.845182 +0.238651; -0.477302 +0.129228]
t = 1.00 e^At = [+0.600424 +0.232544; -0.465088 -0.097209]
t = 2.00 e^At = [+0.252355 +0.117020; -0.234039 -0.098704]
=== 三、能控性与能观性 ===
Mc = [B AB] = [[0, 1], [1, -3]]，det = -1.0
Mo = [C; CA] = [[1, 0], [0, 1]]，det = 1.0
两个行列式都非零 -> 既完全能控、又完全能观
=== 四、极点配置：K = [23, 7]，目标极点 -5、-5 ===
A - BK = [[0.0, 1.0], [-25.0, -10.0]]
迹 = -10.0（应为 -10），det = 25.0（应为 25）
闭环传递函数 1/(s^2+10s+25)，直流增益 = 1/25 = 0.040000
要消除静差需前置增益 N = 25（否则 e_ss = 1 - 0.04 = 0.96）
=== 五、状态观测器：L = [17, 47]，目标极点 -10、-10 ===
A - LC = [[-17, 1], [-49, -3]]
特征多项式 s^2 + 20 s + 100
特征值 = -10.0 与 -10.0
分离原理：K 与 L 可各自独立设计，互不影响这段代码里有一个值得注意的"工程折中"：B 与 C 都被写成了 2×2 矩阵（真正的向量只占其中一列/一行），而不是用紧凑的一维数组。
c
const double B[2][2] = { {0.0, 0.0}, {1.0, 0.0} }; /* 第 1 列是 B 向量 */
const double C[2][2] = { {1.0, 0.0}, {0.0, 0.0} }; /* 第 1 行是 C 向量 */好处是 mmul 这一个函数就能同时处理 AB、CA、BK 三种乘法（都是"2×2 乘 2×2"），代价是浪费一半存储、并且要靠注释说清"哪一列是真数据"。 对这个规模的问题，这个折中划算；如果状态维数上到几十，就该换成通用维数的矩阵库了。"用最简单的方式凑到能跑，并在注释里说明哪个维度是哑的"，是嵌入式数值代码里的常见做法。
例 7：Python——能控能观、e^{At} 双路径、两个增益设计
# 状态空间：能控能观判据、状态转移矩阵、极点配置
import math
def mmul(A, B):
return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(len(B))) for j in range(len(B[0]))]
for i in range(len(A))]
def madd(A, B):
return [[A[i][j] + B[i][j] for j in range(len(A[0]))] for i in range(len(A))]
def mscale(A, s):
return [[A[i][j] * s for j in range(len(A[0]))] for i in range(len(A))]
def hstack(A, B):
return [A[i] + B[i] for i in range(len(A))]
def vstack(A, B):
return A + B
def det2(M):
return M[0][0] * M[1][1] - M[0][1] * M[1][0]
print("=== 一、系统矩阵与特征值 ===")
A = [[0.0, 1.0], [-2.0, -3.0]]
B = [[0.0], [1.0]]
C = [[1.0, 0.0]]
print(" A = [[0, 1], [-2, -3]]，B = [[0], [1]]，C = [[1, 0]]")
a1, a0 = A[1][1] + A[0][0], det2(A)
print(f" 特征方程 s^2 - (迹)s + det = s^2 + {-(a1):.1f}s + {a0:.1f}"
f" -> 特征值 s = -1, -2")
print(" 传递函数 G(s) = C(sI-A)^-1 B = 1/(s^2 + 3s + 2)")
print("\n=== 二、状态转移矩阵 e^(At)：解析式与级数两条路径 ===")
def eAt_closed(t):
e1, e2 = math.exp(-t), math.exp(-2 * t) # Cayley-Hamilton 闭式解
return [[2 * e1 - e2, e1 - e2], [-2 * e1 + 2 * e2, -e1 + 2 * e2]]
def eAt_series(t, n=40):
M = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]
term = [[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]
for k in range(1, n):
term = mscale(mmul(term, A), t / k)
M = madd(M, term)
return M
print(" t e^(At) 闭式解（行优先展开） 与级数(40项)的逐元素最大差")
for t in (0.0, 0.5, 1.0, 2.0):
m1, m2 = eAt_closed(t), eAt_series(t)
d = max(abs(m1[i][j] - m2[i][j]) for i in range(2) for j in range(2))
f1 = f"[{m1[0][0]:+.6f} {m1[0][1]:+.6f}; {m1[1][0]:+.6f} {m1[1][1]:+.6f}]"
print(f" {t:5.2f} {f1} {d:.3e}")
print("\n=== 三、能控性与能观性 ===")
Mc = hstack(B, mmul(A, B))
Mo = vstack(C, mmul(C, A))
print(f" 能控性矩阵 Mc = [B AB] = [[{Mc[0][0]:.0f}, {Mc[0][1]:.0f}], "
f"[{Mc[1][0]:.0f}, {Mc[1][1]:.0f}]]，det = {det2(Mc):.1f}")
print(f" 能观性矩阵 Mo = [C; CA] = [[{Mo[0][0]:.0f}, {Mo[0][1]:.0f}], "
f"[{Mo[1][0]:.0f}, {Mo[1][1]:.0f}]]，det = {det2(Mo):.1f}")
print(" 两个行列式都非零 -> 既完全能控、又完全能观")
print("\n=== 四、极点配置：把闭环极点放到 -5、-5 ===")
print(" 目标特征多项式 (s+5)^2 = s^2 + 10s + 25")
print(" A - BK = [[0, 1], [-2-k1, -3-k2]]，其特征多项式为 s^2 + (3+k2)s + (2+k1)")
k1, k2 = 25.0 - 2.0, 10.0 - 3.0
print(f" 对照系数：3 + k2 = 10 -> k2 = {k2:.1f}；2 + k1 = 25 -> k1 = {k1:.1f}")
print(f" 故反馈增益 K = [{k1:.1f}, {k2:.1f}]")
Acl = madd(A, mscale(mmul(B, [[k1, k2]]), -1.0))
print(f" 核对：A - BK = [[{Acl[0][0]:.1f}, {Acl[0][1]:.1f}], "
f"[{Acl[1][0]:.1f}, {Acl[1][1]:.1f}]]，"
f"迹 = {Acl[0][0] + Acl[1][1]:.1f}（应为 -10），det = {det2(Acl):.1f}（应为 25）")
print("\n=== 五、状态反馈后的稳态误差与前置增益 ===")
print(" 闭环传递函数 G_cl(s) = 1/(s^2 + 10s + 25)，直流增益 = 1/25 = 0.040000")
N = 25.0
print(f" 要让阶跃输入的稳态输出为 1，需串入前置增益 N = {N:.1f}")
print(f" 换算成稳态误差：无 N 时 e_ss = 1 - 0.04 = 0.96；加 N 后 e_ss = 0")
print("\n=== 六、全维状态观测器：把观测器极点放到 -10、-10 ===")
print(" A - LC = [[-l1, 1], [-2-l2, -3]]，特征多项式 s^2 + (3+l1)s + (3*l1 + 2 + l2)")
l1 = 20.0 - 3.0
l2 = 100.0 - 3.0 * l1 - 2.0
print(f" 3 + l1 = 20 -> l1 = {l1:.1f}；3*{l1:.1f} + 2 + l2 = 100 -> l2 = {l2:.1f}")
print(f" 故观测器增益 L = [{l1:.1f}, {l2:.1f}]")
bb = 3.0 + l1
de = 3.0 * l1 + 2.0 + l2
disc = bb * bb - 4.0 * de
r1 = (-bb + math.sqrt(disc)) / 2.0
r2 = (-bb - math.sqrt(disc)) / 2.0
print(f" 核对：特征值 = {r1:.1f} 与 {r2:.1f}")
print(" 分离原理：状态反馈增益 K 与观测器增益 L 可以各自独立设计，互不影响")
python 本站为静态站，不提供在线运行；可复制到本地用 gcc / python 执行
预期输出：
=== 一、系统矩阵与特征值 ===
A = [[0, 1], [-2, -3]]，B = [[0], [1]]，C = [[1, 0]]
特征方程 s^2 - (迹)s + det = s^2 + 3.0s + 2.0 -> 特征值 s = -1, -2
传递函数 G(s) = C(sI-A)^-1 B = 1/(s^2 + 3s + 2)
=== 二、状态转移矩阵 e^(At)：解析式与级数两条路径 ===
t e^(At) 闭式解（行优先展开） 与级数(40项)的逐元素最大差
0.00 [+1.000000 +0.000000; +0.000000 +1.000000] 0.000e+00
0.50 [+0.845182 +0.238651; -0.477302 +0.129228] 1.110e-16
1.00 [+0.600424 +0.232544; -0.465088 -0.097209] 3.331e-16
2.00 [+0.252355 +0.117020; -0.234039 -0.098704] 1.887e-15
=== 三、能控性与能观性 ===
能控性矩阵 Mc = [B AB] = [[0, 1], [1, -3]]，det = -1.0
能观性矩阵 Mo = [C; CA] = [[1, 0], [0, 1]]，det = 1.0
两个行列式都非零 -> 既完全能控、又完全能观
=== 四、极点配置：把闭环极点放到 -5、-5 ===
目标特征多项式 (s+5)^2 = s^2 + 10s + 25
A - BK = [[0, 1], [-2-k1, -3-k2]]，其特征多项式为 s^2 + (3+k2)s + (2+k1)
对照系数：3 + k2 = 10 -> k2 = 7.0；2 + k1 = 25 -> k1 = 23.0
故反馈增益 K = [23.0, 7.0]
核对：A - BK = [[0.0, 1.0], [-25.0, -10.0]]，迹 = -10.0（应为 -10），det = 25.0（应为 25）
=== 五、状态反馈后的稳态误差与前置增益 ===
闭环传递函数 G_cl(s) = 1/(s^2 + 10s + 25)，直流增益 = 1/25 = 0.040000
要让阶跃输入的稳态输出为 1，需串入前置增益 N = 25.0
换算成稳态误差：无 N 时 e_ss = 1 - 0.04 = 0.96；加 N 后 e_ss = 0
=== 六、全维状态观测器：把观测器极点放到 -10、-10 ===
A - LC = [[-l1, 1], [-2-l2, -3]]，特征多项式 s^2 + (3+l1)s + (3*l1 + 2 + l2)
3 + l1 = 20 -> l1 = 17.0；3*17.0 + 2 + l2 = 100 -> l2 = 47.0
故观测器增益 L = [17.0, 47.0]
核对：特征值 = -10.0 与 -10.0
分离原理：状态反馈增益 K 与观测器增益 L 可以各自独立设计，互不影响第六段那句"分离原理"是这一章最实用的结论：它意味着两个 n 阶问题可以分开解，而不是去啃一个 2n 阶耦合问题。在工程上，这是"把大问题拆小"的典范——和 软工的模块化 是同一种思维方式：先找到可以让两块互不干扰的条件，然后在条件成立时把问题切开。
考点
- 状态变量的个数恰好是系统阶数
n：多一个冗余、少一个描述不全。 - 能控标准型的元素规律：
A最后一行是特征多项式系数取负倒序，上三角错位单位阵；B最后一个元素为 1；C第一个元素为分子系数。 G(s) = C(sI−A)⁻¹B + D；G(s)的极点就是A的特征值（无零极点对消时）。- 相似变换不改变
G(s)与特征值：A' = TAT⁻¹、B' = TB、C' = CT⁻¹——内部表示不唯一，外部行为唯一。 - 状态转移矩阵四条性质：
e^{A·0} = I、d/dt e^{At} = A e^{At}、(e^{At})⁻¹ = e^{-At}、e^{A(t1+t2)} = e^{At1}e^{At2}。 e^{At}两条计算路径：级数Σ(At)^k/k!（数值）与 Cayley-Hamilton 降阶后α0I + α1A（手算闭式解）。手算时用t = 0是否为I做快速自检。- 全解 = 零输入响应 + 零状态响应：
x(t) = e^{At}x(0) + ∫₀ᵗ e^{A(t−τ)}Bu(τ)dτ。 - 能控判据
rank[B AB … A^{n−1}B] = n；能观判据rank[C; CA; …; CA^{n−1}] = n。判据用秩，不用行列式（多入多出时矩阵不是方的）。 - 对偶性：
(A,B,C)的能控 ⟺(Aᵀ,Cᵀ,Bᵀ)的能观；这是分离原理的数学根据。 - 能任意配置极点 ⟺ 系统能控——能控性是"能不能设计控制器"的资格线。
- 状态反馈不改变零点，因此消不掉静差；要消差需加前置增益
N（按模型算，模型不准就失准）或加积分器。 - 观测器误差方程
ė = (A − LC)e完全自主（与u、x无关）；观测器极点通常比控制器极点快 2~5 倍（否则估计误差拖累控制；再快则放大噪声）。 - 易错：把能控性矩阵写成
[AB B]顺序颠倒；把K的符号搞反（u = −Kx才有A − BK）；以为状态反馈能改善静差；把"传递函数极点"当成"系统全部极点"（被对消的不可控/不可观模态在传递函数里消失了）；用行列式判据处理多输入系统。
小结
- 状态空间把
n阶系统拆成n个一阶方程：x' = Ax + Bu、y = Cx + Du。 - 能控标准型元素规整，看一眼矩阵就知道原传递函数系数；
A的特征值就是G(s)的极点。 - 状态转移矩阵
e^{At}是解的核心，四条性质必背；计算有级数与 Cayley-Hamilton 两条路，两条路互证是可靠的验证方式。 - 能控性与能观性是状态空间法独有的两个概念，判据都是秩等于
n，且互为对偶。 - 能控 ⟺ 能任意配置极点（
u = −Kx，闭环为A − BK）；二阶用对比系数求K最省事。 - 状态反馈不改零点、消不掉静差：本例题里直流增益只有
0.04，需前置增益N = 25；这不如 PID 的I项鲁棒。 - 观测器误差方程
ė = (A − LC)e自主，故L可独立设计；分离原理让控制器与观测器分开算。 - 观测器极点要快于控制器极点（2~5 倍），但受噪声限制。
回到主线：这一章把系统换成了"内部状态"的语言，得到了能控、能观、极点任意配置三条硬结论，也看到了状态反馈比 PID 精确但更依赖模型的取舍。但"极点放在哪最好"这个问题，本章是用经验回答的（比如"放到 -5"）。
下一章给出一个不是经验的答案：不指定极点，而是指定"什么该省、什么该罚"，让数学自己算出最优解——这就是最优控制与 LQR。
下一篇：现代控制理论基础
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