透视学

概念

透视是把三维空间投影到二维平面上的规则。它的物理原型极简单：万物反射的光都通过眼睛这一个点，所以画面上的每个位置，对应着空间中沿同一条视线排成一列的无穷多点。

由此得到透视最基本的一条结论：

画一个物体的像，不取决于它有多大，只取决于它张开多大角度。

一个 1.8 m 高的人站在 3 m 处与 0.6 m 高的模型站在 1 m 处，如果张角相同，画出来一模一样大。"近大远小"的量化含义是"张角大小"。

透视学的三个基本名词：

名词	定义	画面上在哪
视平线	眼睛所在高度的水平线	就是画面上的水平中线（相机水平时）
主点	正对眼睛的那个点	视平线与画面中心竖线的交点
灭点	一组平行线在无穷远处的像	这条线方向的"消失点"

原理

中心投影公式

设相机（眼睛）为原点，$Z$ 轴指向正前方，$X$ 向右、$Y$ 向上；焦距 $f$。空间点 $(X,Y,Z)$ 成像于：

$$x^{\prime }=f\frac{X}{Z},y^{\prime }=f\frac{Y}{Z}$$

两个性质直接读得出来：

1. 坐标与 $Z$ 成反比——距离加倍，像缩半，这就是"近大远小"的公式形态；
2. 除以 $Z$ 之前没有加法项——所以透视是线性（更准确说是射影）变换，不是线性缩放，等距的点在画面上不等距。

视平线 = 相机高度；等高物体的不变量

令 $Y$ 为相对相机的高度。地面上一点满足 $Y=-h$（$h$ 为相机高度），代入 $y^{\prime }=f\cdot (-h)/Z$：

$$|y^{\prime }|=\frac{fh}{Z}$$

地面上所有点的像都在视平线下方，且越远越贴近视平线。 同理，比相机高的点在视平线上方，比相机低的在下方。

这给出一个极有用的不变量：站在同一水平面上、身高相同的一排人，他们的眼睛永远落在视平线上——无论远近。画群像时先画视平线，再让每个人的眼睛"坐"在这条线上，比例就不会错。

灭点：平行线的公共归宿

一组方向为 $(X_d,Y_d,Z_d)$ 的平行线，取 $Z_d\ne 0$，则 $Z\to \mathrm{\infty }$ 时

$$x^{\prime }=f\frac{X_d}{Z_d},y^{\prime }=f\frac{Y_d}{Z_d}$$

与线的具体位置无关——只要方向相同，灭点就相同。

因此：

• 与画面平行的水平线（$Y_d=0$）→ 灭点在视平线上；
• 与视线垂直的方向（$X_d=0,Y_d=0$）→ 灭点就是主点（这就是一点透视）；
• 斜向方向 → 灭点偏到视平线两侧，偏多少由方向与视线的夹角决定。

两点透视的漂亮关系

设两个互相垂直的水平方向分别与画面成夹角 $\alpha$ 与 ${90}^{\circ }-\alpha$。它们的灭点横坐标：

$$x_1=f\tan \alpha ,x_2=-f\tan ({90}^{\circ }-\alpha )=-\frac{f}{\tan \alpha }$$

两式相乘：

$$x_1\cdot x_2=f\tan \alpha \times (-\frac{f}{\tan \alpha })=-f^2$$

两条互相垂直的水平方向，其灭点分居主点两侧，横坐标乘积恒为 $-f^2$（与夹角无关）。

这个关系有三层用处：

1. 它是检验：若你画的两组线算出来的乘积不是 $-f^2$，说明两个方向并不垂直；
2. 它是找点：给出一个灭点，另一个立刻能算；
3. 它解释了为什么两点透视的灭点常常跑到画面外——$f$ 较小时灭点很近，$\alpha$ 一偏离 ${45}^{\circ }$，另一个灭点就飞得很远。

中西方对空间的不同处理（客观陈述）

• 西方自文艺复兴起形成焦点透视：假定单一视点，全部平行线汇聚于灭点，画面是一扇"窗"。布鲁内莱斯基约 1420 年做了透视演示，阿尔伯蒂 1435 年《论绘画》给出系统理论。
• 中国画长期使用散点/移动视点，山水画讲**"三远"**：高远（自山下仰山巅）、深远（自山前窥山后）、平远（自近山望远山）。手卷的形式尤其适合移步换景——画面不是从一个固定视点看到的，而是沿时间展开的（见中国美术史）。

两者不是"对错"关系，而是观看方式的两种选择：一个是站在窗前不动，一个是边走边看。

示例

例 1：等距地砖在画面上"越远越密"

相机高 $h=1.6$ m，焦距 $f=24$ mm；地面上一系列平行横线，第一条距相机 5.0 m，相邻间距 0.3 m。像高（视平线以下，单位 mm）：

$$|y^{\prime }|=\frac{fh}{Z}=\frac{24\times 1.6}{Z}=\frac{38.4}{Z}$$

第 n 条	距离 $Z$ (m)	像高 (mm)	与前一条的间隔 (mm)
1	5.00	7.6800	—
2	5.30	7.2453	0.4347
3	5.60	6.8571	0.3881
4	5.90	6.5085	0.3487
5	6.20	6.1935	0.3149
6	6.50	5.9077	0.2859
7	6.80	5.6471	0.2606
8	7.10	5.4085	0.2386

地面上的间距是恒定的 0.3 m，画面上却从 0.4347 mm 缩到 0.2386 mm，末段只有首段的 $0.2386/0.4347=\ast \ast 54.89\mathrm{\%}\ast \ast$。

这条结论直接指导画法：画地砖千万不能用等间距，必须逐渐压缩。经验做法是先定最前与最后两条，中间的线按"越来越密"的节奏插入，插完再用公式核对。

例 2：两点透视的灭点位置与 $x_1{x}_2=-f^2$

取 $f=35$ mm：

夹角 $\alpha$	灭点 1 横坐标	灭点 2 横坐标	乘积	$-f^2$
20°	12.7390 mm	−96.1617 mm	−1225.0000	−1225
30°	20.2073 mm	−60.6218 mm	−1225.0000	−1225
45°	35.0000 mm	−35.0000 mm	−1225.0000	−1225

$f=35$ mm、$\alpha ={30}^{\circ }$ 的推导：$x_1=35\tan {30}^{\circ }=35\times 0.57735=\ast \ast 20.2073$ mm**；$x_2=-35/\tan {30}^{\circ }=-35/0.57735=\ast \ast -60.6218$ mm**；乘积 $=-1225.0000=-(35{)}^2$。

注意 $\alpha ={45}^{\circ }$ 时两个灭点对称分居 ±35 mm —— 而 135 画幅的半宽只有 18 mm，所以两个灭点都落在画面外。这正是初学者画两点透视时"灭点找不到"的原因；它们本来就在画外，需要靠辅助线外推去找。

例 3：焦距造成的面部透视畸变

设鼻尖比脸部平面靠近相机 $\delta =5$ cm，则鼻尖的放大倍率为 ${\displaystyle \frac{Z}{Z-\delta }}$：

拍摄距离 $Z$	放大倍率	鼻尖被放大
0.6 m（广角特写）	1.0909	+9.09%
1.0 m	1.0526	+5.26%
2.1 m（中长焦半身）	1.0244	+2.44%
3.0 m	1.0169	+1.69%

计算：$Z=0.6$ m 时 ${\displaystyle \frac{0.6}{0.6-0.05}}={\displaystyle \frac{0.6}{0.55}}=\ast \ast 1.0909$；$Z=2.1$ m 时 ${\displaystyle \frac{2.1}{2.05}}=\ast \ast 1.0244$。

两组数据的比值 $1.0909/1.0244=1.0649$ —— 换句话说，同样的鼻子，0.6 m 处拍会让它比 2.1 m 处拍"再大 6.49%"。这就是"广角拍近景鼻子变大、长焦拍半身脸更平"的量化解释：畸变来自距离，不是来自镜头的玻璃。所以人像要用中长焦，本质是为了在合适取景范围下把机位退远。

例 4：一个立方体的两点透视坐标（$f=50$ mm）

立方体棱长 1 m，近端面位于 $Z=3$ m，$(X,Y,Z)$ 为相对相机的空间坐标：

顶点	空间坐标	$x^{\prime }=50X/Z$	$y^{\prime }=50Y/Z$
近端左下	(0, 0, 3)	0.0000	0.0000
近端右下	(1, 0, 3)	16.6667	0.0000
近端左上	(0, 1, 3)	0.0000	16.6667
近端右上	(1, 1, 3)	16.6667	16.6667
远端右下	(1, 0, 4)	12.5000	0.0000
远端左下	(0, 0, 4)	0.0000	0.0000

同一段 1 m 的棱：近端像长 16.6667 mm，远端像长 12.5000 mm，缩短 $(1-12.5/16.6667)=\ast \ast 25.0\mathrm{\%}\ast \ast$。

棱的真实长度一样，画出来短了四分之一——这正是"透视压缩"的具体数量级。若画等长的两条棱，立方体立刻会看起来像被拉长。

要点

要点与常见误区

1. "近大远小"的本质是张角，不是绝对尺寸。判断"该画多大"靠张角比对。
2. 视平线就是相机高度：相机举高，视平线升高；相机贴地，视平线压到底部。画面对不对，第一步看视平线放得合不合理。
3. 等高且站在同一平面的人，眼睛都在视平线上——这是画群像最好用的校验线。
4. 灭点由"方向"决定，与线的位置无关。同一方向的所有平行线共用一个灭点。
5. 互相垂直的两个水平方向，灭点横坐标乘积 $=-f^2$。这是检验画对了没有的硬指标（$f$ 相同才可比）。
6. 两点透视的灭点常在画面之外，$\alpha ={45}^{\circ }$、$f=35$ mm 时就在 ±35 mm 处，而画面半宽只有 18 mm。必须用外推辅助线找，不能只找画内的交点。
7. 等距地砖必须逐级压缩：实测从 0.4347 mm 压到 0.2386 mm（首段的 54.89%）。等间距画地砖是最典型的"看起来就不对"。
8. 广角畸变来自距离而非镜头：鼻尖在 0.6 m 处被放大 9.09%，2.1 m 处只放 2.44%。"长焦压缩空间"的真相是"退远拍，于是透视变弱"。
9. 焦距不改变透视，只改变取景范围与拍摄距离。同一机位换镜头，透视关系完全一致，变的只是裁切——这是最常被混淆的一条。
10. 透视是工具不是教条：中国画的"三远"用的是移动视点，现代绘画也常故意违反透视（如立体主义同时呈现多个视点）。知道规则，才有资格选择不遵守它。

小结

• 中心投影：$x^{\prime }=f{\displaystyle \frac{X}{Z}}$，$y^{\prime }=f{\displaystyle \frac{Y}{Z}}$；像与距离成反比，故空间等距在画面上不等距。
• 视平线 = 相机高度；地面点的像高 $|y^{\prime }|={\displaystyle \frac{fh}{Z}}$，越远越贴近视平线；等高物体眼睛恒在视平线上。
• 灭点由方向决定：平行于画面的水平线灭点在视平线上；垂直于视线的方向灭点即主点（一点透视）。
• 两点透视：$x_1=f\tan \alpha$、$x_2=-f/\tan \alpha$，乘积恒为 $-f^2$；$f=35$ mm、$\alpha ={45}^{\circ }$ 时为 ±35 mm，落在画面外。
• 等距地砖检验表：$f=24$ mm、$h=1.6$ m 时，5.0–7.1 m 处像高由 7.6800 mm 递减至 5.4085 mm，相邻间隔由 0.4347 mm 压到 0.2386 mm（54.89%）。
• 透视畸变由距离决定：鼻尖比脸近 5 cm 时，0.6 m 处放大 9.09%、2.1 m 处 2.44%。
• 立方体 1 m 棱：近端像长 16.6667 mm、远端 12.5000 mm，缩短 25.0%。
• 西方为焦点透视（布鲁内莱斯基约 1420、阿尔伯蒂 1435），中国画多用散点视点与"三远"；两者是观看方式的选择，不是对错之分。

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